II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Аналитическое определение; введение однородных координат.

Здесь я тоже сразу же рассматриваю трехмерное пространство.

1) За исходный пункт я беру аналитическое определение проективного преобразования. Но на этот раз мы полагаем равными не целым, а дробно-линейным функциям , которые, однако, все — и это является чрезвычайно существенным — должны иметь один и тот же знаменатель:

Каждой точке x, у, z соответствует в силу (1) вполне определенная конечная (т. е. не бесконечно удаленная) точка при условии, что этот общий знаменатель отличен от нуля.

Если же точка х, у, z приближается к плоскости то соответствующая точка — это и является новым по сравнению с аффинным преобразованием удаляется в бесконечность указанную плоскость называют «плоскостью схода», а ее точки — «точками схода» и говорят, что при проективном преобразовании они соответствуют бесконечно удаленным элементам пространства: так называемой бесконечно удаленной плоскости и соответственно бесконечно удаленным точкам.

2) При исследовании возникающих здесь проблем оказывается, как известно, очень целесообразным ввести однородные координаты, т. е. ввести вместо трех координат точки х, у, z четыре величины , определяемые равенствами

эти четыре величины рассматриваются как независимые переменные с тем единственным ограничением, что они не должны все одновременно обращаться в нуль и что ни одна из них не должна становиться бесконечно большой. Поэтому каждой точке х, у, z соответствует бесконечное множество систем значений , где — произвольный множитель (отличный от нуля); обратно, каждая система значений , где задает определенную конечную точку х, у, z (ту же точку задают и все системы значений ), Однако при по крайней мере одно из частных х, у, z становится бесконечно большим; сообразно этому принимают, что каждая система значений должна означать «бесконечно удаленную» точку, причем все системы дают одну и ту же точку. Этим вводятся строго аналитическим путем те точки, которые обыкновенно присоединяют к обычным конечным точкам в качестве «бесконечно удаленных».

Опыт показывает, что оперирование с однородными координатами вызывает у многих, во всяком случае у начинающих, неприятное чувство. Я думаю, что виною этому является та как бы неопределенность, текучесть этих величин, которую вносит произвольный множитель . Быть может, отчетливое подчеркивание этого обстоятельства будет содействовать устранению такого ощущения.

Для этой же цели представляется целесообразным добавить здесь кое-какие соображения о некоторых геометрических представлениях, которые можно связать с однородными координатами. При этом сначала я буду говорить о координатах не в пространстве, а на плоскости Е. В этом случае для обеих прямоугольных координат полагаем

Рис. 64

Условимся рассматривать как прямоугольные координаты в некотором трехмерном пространстве, а нашу плоскость Е будем рассматривать как плоскость этого пространства, параллельную плоскости (рис. 64), полагая на ней . Если соединить точку у на плоскости Е прямой линией с точкой О, то, как известно, на этой прямой отношения и — будут сохранять постоянные значения, а именно, должно быть (для всех точек этого луча)

так как при как раз должны иметь место равенства Таким образом, введение однородных координат означает просто отображение плоскости Е в связку прямых, проектирующих эту плоскость из начала координат О вспомогательного трехмерного пространства. Именно, однородные координаты любой точки плоскости Е являются пространственными координатами точек той прямой этой связки, которая проектирует эту точку . Поскольку каждой точке плоскости Е соответствует бесконечное множество точек такой прямой, то смысл неопределенности однородных координат делается совершенно ясным. Исключение системы значений имеет свое геометрическое основание в том, что сама по себе точка О не фиксирует еще никакой Определенной прямой, а значит, и никакой точки на Е.

Столь же очевидным представляется и то, что нет нужды в бесконечных значениях для ; ведь любую прямую можно получить путем соединения точки О с точками, лежащими в конечной части пространства. Наконец, становится совершенно ясным и то, каким образом мы избегаем бесконечно больших значений для координат , заменяя бесконечно удаленные элементы плоскости Е параллельными ей прямыми, проходящими через точку О и лежащими в плоскости

Употребление термина «бесконечно удаленная прямая» также получает при этом наглядное геометрическое содержание. Аналитически он является лишь выражением той абстрактной аналогии, что все «бесконечно удаленные точки» удовлетворяют линейному уравнению совершенно подобно тому, как все точки каждой конечной прямой тоже удовлетворяют некоторому линейному уравнению.

Теперь же мы можем дать и чисто геометрическую интерпретацию: каждой прямой на плоскости принадлежит в связке О некоторый плоский пучок прямых и, наоборот, каждый плоский пучок прямых в связке О — за исключением плоского пучка определяет некоторую прямую на Е; поэтому представляется целесообразным назвать прямой также и совокупность точек, соответствующих на плоскости Е прямым этого последнего пучка, что и дает нам как раз «бесконечно удаленную прямую».

Совершенно аналогичные представления можно составить себе, вводя однородные координаты в трехмерном пространстве. А именно, мы представляем себе это последнее как «сечение», определяемое уравнением в некотором вспомогательном четырехмерном пространстве и сопоставляем это сечение со связкой прямых, которая проектирует его из нулевой точки (начала) вспомогательного пространства. Тогда все дальнейшие рассуждения можно провести без всяких затруднений в почти буквальной аналогии с предыдущим, и, в частности, перенести сюда истолкование бесконечно удаленных элементов. При этом применение четырехмерного пространства является, конечно, только средством для более удобного способа выражения, которому ни в коем случае не следует приписывать какое-либо мистическое значение.

3) Вводя в уравнения (1) проективного преобразования однородные координаты, можно разбить эти уравнения благодаря равенству их знаменателей на следующие четыре уравнения при помощи произвольного множителя пропорциональности :

Эта система уравнений, если не считать произвольного множителя , изображает наиболее общую линейную однородную подстановку четырех переменных и представляет собой поэтому некоторое аффинное преобразование вспомогательного четырехмерного пространства, при помощи которого мы по методу . 2) истолковываем однородные координаты. И в этом случае можно составить себе более конкретное представление, если ограничиться плоскостью. Чтобы получить наиболее общее проективное преобразование плоскости, достаточно подвергнуть пространство, в котором задана связка прямых, проектирующих эту плоскость, произвольному аффинному преобразованию с фиксированным началом О, а затем пересечь преобразованную связку тою же плоскостью. При этом мы каждый раз будем получать то же самое проективное преобразование, если, кроме того, соответственно множителю подвергнем пространство еще произвольной гомотетии с центром О, ибо проективное соответствие всецело определяется пересечениями прямых, проходящих через О, с нашей плоскостью, а каждая из этих прямых при указанной гомотетии переходит в себя.

Примененный здесь метод использования вспомогательного пространства называют принципом проектирования и пересечения; он оказывается и во многих других случаях очень полезным, так как позволяет, говоря вообще, более сложные соотношения, в пространствах измерений представлять в более простой и понятной форме при помощи рассмотрения вспомогательных пространств измерений.

4) Переходам к задаче обращения уравнений преобразования (2). Теория определителей учит, что переменнее тоже являются линейными однородными комбинациями переменных опять-таки, конечно, с произвольным множителем пропорциональности :

лишь бы только определитель

системы (2) не обращался в нуль. Следовательно, системы значений находятся при соблюдении этого условия во взаимно однозначном соответствии (с точностью до указанных произвольных общих множителей).

Замечу тут вы этому сразу же поверите на основании нашего опыта в исследовании аффинных преобразований, — что и здесь случай оказывается достаточно интересным и не должен быть пропущен; ему соответствует отображение всего пространства на некоторую плоскость, что мы имеем во всякой центральной проекции, например, в фотографии. Но сначала мы рассмотрим общий случай, когда

5) Из (2) и (3) сразу же видно, что всякий раз, когда связаны линейным уравнением, подобное же уравнение связывает также и наоборот. Каждой плоскости соответствует, следовательно, тоже некоторая плоскость; в частности, например, бесконечно удаленной плоскости пространства R соответствует определенная, вообще говоря, конечная плоскость в пространстве R — уже упомянутая выше «плоскость схода». Как видите, употребление термина «бесконечно удаленная плоскость» оказывается крайне целесообразным, так как только оно одно позволяет высказывать подобные предложения без всяких оговорок.

Из сказанного непосредственно заключаем, что каждой прямей обязательно соответствует тоже некоторая прямая. Следовательно, всякое проективное преобразование является но терминологии Мёбиуса некоторой коллинеацией.