Отсутствие аксиом расположения у Евклида; возможность так называемых геометрических софизмов.

Но существенно более веским, чем все эти проблемы и неясности, является другой упрек, который приходится высказать по поводу изложения основ у Евклида, если прилагать к нему мерку его же собственного идеала, не теряя при этом из виду наших современных знаний. А именно, Евклид, если говорить сначала на привычном нам аналитическом языке, никогда не рассматривает своих геометрических величин (отрезки, углы, поверхности и т. д.) со знаком (±), но всегда обращается со всеми ими как с положительными величинами; он строит как бы аналитическую геометрию, в которой координаты и прочие величины входят только по модулю (абсолютному значению). Следствием этого является то, что он не может достигнуть, установления общезначимых теорем, но всегда должен проводить различение отдельных случаев в зависимости от того, как именно в каждом конкретном случае расположены части фигуры. В качестве простого примера может служить так называемая обобщенная теорема Пифагора, которая на нашем современном языке формул гласит (рис. 132)

и имеет место как для остроугольных, так и для тупоугольных треугольников, так как мы можем соответственно смыслу считать положительной или отрицательной величиной.

Но Евклид знает только положительное значение и поэтому он должен в этих двух случаях применять две различные формулы 178)

Естественно, что подобное различение отдельных случаев становится тем более сложным и запутанным, чем дальше мы идем.

Рис. 132

Можно, конечно, тот недостаток, о котором идет речь, формулировать и чисто геометрически. Различию в знаке при аналитическом изложении соответствует в чистой геометрии различие в расположении, а именно, такого типа: С лежит либо между А и В, либо вне отрезка АВ. Возвести полное логическое здание геометрии возможно только в том случае, если явно и отчетливо формулировать основные факты этих отношений положения или так называемые «аксиомы расположения» (аксиомы понятия «между»), как мы это уже подчеркивали в нашем и первом, и втором построении геометрии. А не выполнив этого, подобно Евклиду, мы не достигнем идеала чисто логического овладения геометрией и должны будем всегда снова обращаться к чертежу для проверки соотношений положения. Итак, коротко говоря, наш упрек Евклиду состоит в том, что у него нет аксиом расположения.

В действительности, лишь сравнительно недавно поняли, что следует четко формулировать определенные предположения относительно понятия «между», другими словами, что элементарно-геометрические величины следует снабжать, согласно известным условиям, знаком плюс или минус. В начале моего курса (с. 29), когда мы подробно занимались этим вопросом, я сообщил вам, что первое последовательное проведение правил знаков встречается в «Барицентрическом исчислении» Мёбиуса (1827 г.).

Далее, в этом отношении представляет исторический интерес одно место из письма Гаусса к Ф. Бояи от 6 марта 1832 г., которое, однако, впервые стало изве стным только в 1900 г., после его опубликования в восьмом томе сочинений Гаусса ,(с. 222); оно гласит: «При полном проведении такие слова, как «между», тоже следует сначала свести к ясным понятиям, что очень хорошо можно сделать, но чего я нигде не нахожу осуществленным».

Первую точную геометрическую формулировку этих «аксиом расположения» дал М. Паш в 1882 г. в своих «Лекциях по новой геометрии»

Прежде всего здесь впервые встречается такое предложение, которое мы уже раньше отчетливо формулировали и использовали при нашем первом построении геометрии:

Если прямая пересекает одну какую-нибудь сторону треугольника, то она пересекает и одну из двух других его сторон (рис. 133).

Рис. 133

Не следует недооценивать значение этих аксиом расположения; они столь же важны, как и все другие аксиомы, если мы действительно желаем построить геометрию как логическую науку, которая не нуждалась бы неизбежным образом для установления своих выводов в апеллировании к интуиции и чертежам после введения аксиом (хотя такое апеллирование всегда будет, разумеется, побуждать и помогать во время исследовательской работы).

Евклид, у которого нет этой аксиомы, всегда вынужден возиться с различением частных случаев при помощи чертежей, а так как он, с другой стороны» придает так мало значения правильности геометрического чертежа, то всегда приходится опасаться того, что ученик Евклида, пользуясь неверно начерченными фигурами, придет как-нибудь к ложным предложениям. Так возникают многочисленные так называемые геометрические софизмы, они являются формально правильными во всем прочем доказательствами неверных теорем, но только они базируются на плохо начерченных, т. е. противоречащих аксиомам расположения, фигурах.

Я охотно приведу один пример, который, наверное, многим из вас известен, а именно доказательство того, что всякий треугольник является равнобедренным 18°).

Прежде всего проводим биссектрису угла А и перпендикуляр в середине D стороны ВС. Если бы обе линии были параллельны, то биссектриса была бы перпендикулярна стороне и треугольник был бы равнобедренным. Можно, следовательно, считать, что эти две прямые пересекаются, причем мы будем различать два случая в зависимости от того, находится ли точка пересечения О внутри или вне треугольника.

В обоих случаях мы проводим ОЕ и OF перпендикулярно к А С и А В и соединяем О с В и С.

Рис. 134

В первом случае (рис. 134) горизонтально заштрихованные треугольники AOF и АОЕ конгруэнтны, так как у них есть общая сторона АО, а углы при вершине А, а также прямые углы попарно равны; отсюда

Точно так же и вертикально заштрихованные треугольники OCD, OBD конгруэнтны, так как у них есть общая сторона OD, равные стороны DC и DB и равные прямые углы. Следовательно, откуда, далее, заключаем, пользуясь равенством вытекающим из конгруэнтности первой пары треугольников, что незаштрихованные (прямоугольные) треугольники ОСЕ и OBF также конгруэнтны; поэтому

а сложение с полученным раньше равенством и дает нам действительно равенство

Если же в другом случае точка О лежит вне треугольника (рис. 135), то совершенно подобно предыдущему убеждаемся в конгруэнтности трех пар соответствующих треугольников и находим, в частности,

С помощью вычитания отсюда следует, как показывает чертеж, что опять и, таким образом, равнобедренность треугольников вроде бы доказана в каждом случае.

В этом доказательстве неверен, действительно, только чертеж.

Рис. 135

Рис. 136

А именно, прежде всего, точка О никогда не может лежать внутри треугольника, и, далее, никогда не может иметь места расположение, изображенное на чертеже во втором случае, но всегда одно из двух оснований перпендикуляров Е, F должно лежать внутри, а другое вне той стороны треугольника, на которую опущен соответствующий перпендикуляр, как это изображено на рис. 136. Итак, в действительности получается, например, что

и мы никак не можем вывести заключения о равенстве.

Этим софизм полностью разъяснен; совершенно аналогичным образом могут быть распутаны и многие другие общеизвестные мнимые доказательства; всегда в основу их аргументации кладутся неправильные чертежей с обратным действительному расположением точек и прямых.