Геометрическое определение: проективное отображение как коллинеация.

6) Однако вся. красота заключается в обратимости этого предложения: всякая коллинеация пространства, т. е. всякое взаимно однозначное преобразование, которое каждую прямую переводит в некоторую прямую и которое, кроме того, удовлетворяет еще определенным почти самоочевидным условиям, является некоторым проективным преобразованием, т. е. преобразованием, определяемым аналитически уравнениями (1) или соответственно (2).

Принадлежащее Мёбиусу доказательство последнего предложения я проведу здесь ради удобства только для плоскости; для пространства оно выглядело бы совершенно аналогично. Ход идей этого доказательства сводится к следующему: в произвольно заданной коллинеации выбираем как-нибудь две четверки соответственных точек и сначала в п. а) показываем, что всегда существует такое проективное преобразование, которое переводит одну из таких произвольных четверок в другую. Но всякое проективное преобразование является в то же время некоторой коллинеацией, и мы доказываем далее в п. что при известных условиях может существовать только одна коллинеация, в которой являются; соответственными те же самые две четверки. Следовательно, указанное выше проективное преобразование действительно должно совпадать с заданной коллинеацией, а в этом и заключается наше утверждение. Перехожу к детальному проведению обеих частей доказательства.

а) Отметим, что уравнения проективного преобразования на плоскости

содержат параметров (изменение величины не влияет на это преобразование).

Требование о том, чтобы из двух наперед заданных точек первая переходила во вторую при некотором проективном преобразовании, заключает в себе два линейных условия для параметров этого преобразования, ибо здесь имеют значение только отношения трех однородных координат. Следовательно, соответствие двух четверок точек представляет линейных условий, точнее говоря, восемь линейных однородных уравнений для девяти величин Такие уравнения, как известно, всегда допускают нетривиальное решение, так что всегда можно найти константы проективного преобразования, переводящего одну из заданных четверок в другую. Ручаться за то, что это последнее действительно является собственным проективным преобразованием с не равным нулю определителем и что оно определяется однозначно, можно, как легко видеть, только в том случае, если каждая из обеих заданных четверок точек находится «в общем положении», т. е. если никакие три точки ни в одной из четверок не лежат на одной прямой; но ведь только для этого случая нам и нужно здесь это предложение.

b) Пусть теперь задана произвольная коллинеация (коллинеарное отображение) плоскостей Е, Е. Если 1, 2, 3, 4 — какие-либо четыре точки на Е, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и если 2, 3, 4 — соответственные точки на Е, удовлетворяющие такому же условию, то наше утверждение заключается в том, что заданная коллинеация вполне однозначно определяется соответствием обеих этих четверок точек. Доказательство будет состоять в установлении того, что, исходя из этих двух взаимно соответственных четверок, можно построить коллинеацию одним и только одним способом, пользуясь только обеими ее характеристическими свойствами (однозначность и взаимное соответствие прямых). В качестве главного вспомогательного средства применим так называемые сети Мёбиуса, т. е. некоторые системы прямых, которыми мы, как паутиной, покроем наши плоскости.

Сперва проведем в каждой плоскости (рис. 65) по шесть прямых, соединяющих попарно четыре заданные точки; в коллинеации они должны соответствовать одна другой, ибо, например, прямой 12 на Е должна быть сопоставлена именно такая прямая на Е, на которой лежало бы как изображение точки 1, так и изображение 2 точки 2, а. такой прямой может быть только .

Рис. 65

Но, кроме основных четырех точек, необходимо должны будут находиться во взаимном соответствии также и вновь получаемые пересечения соответственных прямых, например точка должна соответствовать точке (1 4, 2 3): это также следует непосредственно из коллинеарности и взаимной однозначности отображения. Соединяя опять эти новые точки между собой прямыми, пересекая эти последние со старыми прямыми, соединяя снова полученные точки пересечения и продолжая все дальше этот процесс, получаем на каждой из плоскостей по все более густеющей сети прямых и точек, причем точки и прямые обеих сетей обязательно должны попарно соответствовать друг другу в искомой коллинеации.

Всякая произвольно заданная точка плоскости Е либо сама является одним из узлов сети, либо может быть, как легко себе уяснить, заключена в неограниченно сужающиеся метки этой сети, т. е. является предельной точкой для узловых точек сети. В первом случае соответственная точка на Е сразу же. определяется однозначно как соответственный узел сети. А для определения соответственной точки во втором случае приходится внести в определение коллинеации одно добавление, которое представлялось Мёбиусу настолько самоочевидным, что он даже не считал нужным отдельно его формулировать.

А именно, устанавливаемое коллннеацией отображение должно быть непрерывным; это означает, что каждой предельной точке какого-либо точечного множества на Е должна соответствовать предельная точка соответственного точечного множества плоскости Е. Очевидно, что тогда и во втором случае, согласно предыдущему замечанию, соответственная точка на Е определяется однозначным образом. Этим доказывается справедливость нашего утверждения b) для всякой непрерывной коллинеации.

Таким же способом можно доказать, что каждая непрерывная коллинеация в трехмерном пространстве определяется пятью и вообще в -мерном пространстве парами соответственных точек.

Припоминая сказанное в начале п. 6), получаем в качестве результата следующую точную теорему: проективные преобразования являются единственными взаимно однозначными преобразованиями, при которых все без исключения прямые переходят снова в прямые.