1. Построение геометрии на плоскости на основе движений

Построение аффинной геометрии, основанное на параллельных переносах.

В качестве основных понятий принимаем точку и прямую, после чего вводим аксиомы соединения, расположения и непрерывности. При этом аксиомы соединения снова содержат лишь интуитивно ясные факты, как, например: через любые две точки всегда проходит одна и только одна прямая, тогда как две прямые могут иметь либо одну общую точку, либо ни одной.

Относительно расположения точек на прямой мы сохраняем уже отмеченные выше требования; в процессе исследования нам еще придется остановиться на точной формулировке дальнейших аксиом расположения и аксиом непрерывности.

На этой основе мы теперь непосредственно, минуя проективные соответствия, введем группу движения плоскости, чтобы с ее помощью достигнуть нашей основной цели — построения системы аналитической геометрии на плоскости. Для этого мы должны прежде всего дать в виде ряда аксиом абстрактную формулировку того, какие именно свойства этих «движений» мы будем предполагать и применять по отношению к системе точек и прямых. При этом мы, конечно, ориентируемся на то наглядное представление о движении, которое мы вынесли из нашего опыта с твердыми телами. Согласно этому опыту движение должно -в первую очередь быть взаимно однозначным преобразованием точек нашей плоскости (следовательно, должно, в частности, сопоставлять всякой точке некоторую точку, лежащую в конечной части плоскости) и, кроме того, должно переводить все без исключения прямые опять-таки в прямые. Представляется удобным для обозначения преобразования такого рода снова воспользоваться в общем случае словом коллинеация. Конечно, мы первоначально еще не знаем, существуют ли вообще подобные коллинеации, так как мы ведь не обладаем, как это было раньше, проективной геометрией. Поэтому мы должны явным образом постулировать в форме некоторой новой аксиомы существование этих специальных коллинеаций. Действительно, мы требуем, чтобы существовала группа определенных (троекратно бесконечных) коллинеаций, которым мы даем название движений и в качестве теории инвариантов которых следует рассматривать геометрию на плоскости. При этом необходимо также точнее охарактеризовать, что именно надо понимать под выражением «троекратно бесконечный» (или ). Пусть даны какие-нибудь две точки А, А (рис. 104) и два луча (или полупрямые): луч а, исходящий из точки А, и луч а, исходящий из точки А; в таком случае всегда должно существовать одно и только одно движение, переводящее точку А в А и одновременно луч .

Фигуры, переходящие при некотором движении одна в другую, мы называем конгруэнтными.

На первых порах мы не будем, однако, пользоваться существованием всей этой группы движений, а ограничимся использованием только одного особого класса движений, относительно которого мы теперь введем еще некоторые специальные постулаты.

Рис. 104

Рис. 105

А именно, имеется одно и только одно движение, переводящее некоторую точку А в произвольно заданную точку А и одновременно прямую, идущую от к А (с этим именно направлением), саму в себя; такое движение мы называем параллельным переносом. Так вот, мы требуем, чтобы вообще всякий такой перенос переводил в себя всякую прямую, соединяющую любые две взаимно соответствующие при этом переносе точки В и В, сохраняя ее направление (от В к В); далее — и это самое главное — мы требуем, чтобы все параллельных переносов (двукратно бесконечное семейство) образовывали подгруппу по отношению к группе движений.

Если повторять несколько раз один и тот же параллельный перенос (рис. 105), то А будет переходить в точки полупрямой АА, направленной от к А; приходится прибавить в качестве дальнейшего постулата, что эти точки могут в конце концов достичь либо перешагнуть любую точку этой полупрямой. Путем повторения обратного преобразования получаем ряд точек такого же рода на другой полупрямой (т. е. на продолжении первой полупрямой АА в противоположную сторону — за точку А). Представляя себе, что всякий параллельный перенос из начального положения в конечное мы выполняем непрерывным образом, чем нам еще придется воспользоваться, мы называем рассматриваемую здесь прямую траекторией точки А при этом переносе.

Тогда всякая прямая представится нам траекторией бесконечно многих точек и для всякого переноса будет таких траекторий, а именно, тех прямых, которые при этом переносе переходят в себя.

Две различные траектории одного и того же параллельного переноса не могут пересекаться; действительно, ведь иначе точка пересечения должна была бы при переносе получаться из двух различных точек, а именно, лежащих по одной на каждой из траекторий, вопреки характеру переносного движения как взаимно однозначного точечного преобразования. Всем траекториям одного и того же параллельного переноса даем название взаимно параллельных прямых. Таким образом, мы вводим это понятие, исходя из некоторого свойства наших движений. В то же время представляется очевидным, что через каждую точку А проходит хотя бы одна прямая, параллельная заданной прямой а, а именно, траектория точки А при параллельном переносе (плоскости) вдоль заданной прямой а.

Рис. 106

Наконец, мы должны установить еще одну последнюю аксиому относительно этих переносов, а именно: любые два параллельных переноса обладают переместительным свойством, т. е. получается одна и та же точка В как в том случае, если определенную точку А подвергнуть сначала переносу Т, а затем переносу так и в случае обратного порядка: подвергнуть А сначала переносу , а затем переносу Т (рис. 106); символически это записывается так:

Позже мне придется еще остановиться несколько подробнее на вопросе о том, как вообще приходят к подобным аксиомам; здесь же я хотел бы лишь подчеркнуть, что наши вышеприведенные аксиомы выражают как раз то, что представляется вполне привычным каждому человеку уже с первых уроков геометрического черчения.

Ведь первое что делают, состоит в перемещении твердого тела—линейки, циркуля или чего-либо подобного — из одного положения в другое, для того чтобы переносить величины расстояний и углов. В частности, часто применяют операцию параллельного переноса, заставляя, например, треугольник скользить вдоль линейки (рис. 107). При этом опыт подтверждает каждый раз, что все точки треугольника описывают параллельные прямые. Таким образом, наши допущения, которых мы не будем далее логически расчленять, не содержат в себе совершенно ничего искусственного.

Рис. 107

Рис. 108

Посмотрим теперь, как далеко можно проникнуть в аналитическую геометрию, исходя из этих первоначальных понятий, относящихся к параллельным переносам. О прямоугольных координатах, конечно, не может быть и речи, так как мы до сих пор еще не имеем никакого опорного пункта для определения прямого угла, но зато можно ввести в общем виде декартовы координаты. Через некоторую точку О проводим две произвольные прямые, называя их осью и осью у (рис. 108). Рассмотрим параллельный перенос Т, переводящий точку О в произвольно выбранную точку 1 оси . Тогда, повторяя несколько раз этот параллельный перенос Т, получим из этой точки дальнейшие точки на оси

При повторении таким же образом обратного параллельного переноса определяемого тем, что он переводит 1 в О, точка О переходит поочередно в точки оси Получаемым таким образом точкам приписываем положительные и отрицательные целые числа как их абсщссы

Конечно, они не исчерпывают всех точек оси но, согласно одному из наших постулатов, расположены таким образом, что всякая иная точка (той же оси) заключается между двумя из этих точек.

Аналогичным образом, исходя из произвольного параллельного переноса V вдоль оси у и выполняя его последовательно в том и в другом направлении (вперед и назад), получаем (исходя из точки О) точки оси у с положительными и отрицательными целочисленными координатами. При этом надо, разумеется, иметь в виду, что, определяя таким образом отрезки х и у на обеих осях, мы еще не можем сопоставлять их между собой, так как мы не вправе пока применять наряду с параллельными переносами также движение (поворот), переводящее ось в ось у.

Рис. 109

Теперь мы можем перейти также к точкам оси с действительными абсциссами, сохраняя ранее выбранную единицу. Что касается прежде всего рациональных точек, то, чтобы выяснить вопрос на конкретном примере, мы будем искать в первую очередь такой параллельный перенос S вдоль оси который, будучи повторен дважды, дает как раз вышерассмотренный единичный параллельный перенос Т. Тогда ту точку, в которую параллельный перенос S переводит точку О, мы отметим как точку 1/2, а повторное применение переноса S даст нам точки 3/2, 5/2, ...

Для доказательства существования такого параллельного переноса S и вместе с тем этих точек покажем прежде всего, что прямая от искомой точки 1/2 оси х к точке 1 оси у должна быть параллельна прямой 1 2 (что соответствует известному построению, дающему деление отрезка на равные части). Действительно, рассматривая параллельный перенос S (рис. 109), переводящий О в искомую точку 1/2, как результат последовательного выполнения переносов Т из О в и S из в точку 1/2, можно двукратное повторение параллельного переноса S, что, согласно определению, тождественно с параллельным переносом Т, заменить ввиду коммутативности любых двух параллельных переносов последовательностью двукратно повторенного параллельного переноса Т и двукратно повторенного параллельного переноса S.

А так как двукратно повторенный параллельный перенос V переводит О в 2, то этим показано, что получается из 2 путем двукратного применения параллельного переноса S. Итак, прямая 2 1 является одной из траекторий параллельного переноса S и как таковая действительно параллельна другой траектории того же параллельного переноса, идущей от Г к 1/2. Но ведь точки 2 и 1 нами уже были получены, так что параллельный перенос S находится в нашем распоряжении. Поэтому однозначное построение точки 1/2 на основании уже имеющихся элементов (как точки пересечения оси и траектории точки 1 при этом параллельном переносе S) было бы обеспечено, если бы мы только знали, что эта траектория действительно пересекает ось Конечно, это не вызывает с точки зрения наглядных представлений ни у кого никаких сомнений, однако в рамках нашей аксиоматики такой вывод нуждается еще в одной особой аксиоме, так называемой аксиоме взаимного расположения на плоскости. Суть этой аксиомы состоит в том, что прямая, входящая внутрь треугольника через одну его сторону, должна снова выйти из него через другую сторону — тривиальный факт нашей геометрической интуиции, который однако приходится особо отмечать только по причине логической независимости этой аксиомы от других аксиом. Путем совершенно аналогичных рассуждений, очевидно, можно получить точку, соответствующую каждому рациональному значению абсциссы из наших постулатов нетрудно заключить также, что такие «рациональные точки» имеются внутри всякого (как угодно малого) отрезка оси абсцисс.

Но для того, чтобы действительно получить все точки, фактически рассматриваемые в геометрии, мы должны принять в расчет также и иррациональные абсциссы. А для этого нам нужен еще один тоже весьма наглядный постулат, представляющий лишь выше обещанное уточнение требований непрерывностш должно существовать еще бесчисленное множество других точек на оси (или соответственно параллельных переносов этой оси вдоль себя), которые находятся в таких же точно отношениях последовательности расположения и непрерывности к рациональным точкам, в каких иррациональные числа находятся к рациональным числам.

Эта аксиома представляется тем более очевидной, что ведь, обратно, введение иррациональных чисел произошло исторически в результате обращения к геометрической непрерывности.

В результате все точки оси оказываются взаимно однозначно сопоставленными всем положительным и отрицательным действительным числам совершенно аналогично обстоит дело и с точками оси у.

Обращу ваше внимание на то, что описанный здесь прием построения шкалы на прямой представляется вполне естественным. Всякий, кому приходится строить шкалу, поступает так: перемещает вдоль линейки какое-нибудь твердое тело, имеющее согласно произвольному соглашению длину, равную одной единице (например, расстояние между остриями ножек циркуля), и затем делит получаемые таким образом отрезки на равные части.

Теперь мы в состоянии охарактеризовать каждый параллельный перенос плоскости вдоль оси одним простым уравнением, дающим для каждой точки на оси абсциссу ее нового положения прибавляется рациональное или иррациональное, положительное или отрицательное число а.

Подобно этому параллельный перенос вдоль оси у может быть описан уравнением

Рис. 110

Если выполнить (рис. 110) оба эти параллельных переноса один за другим (безразлично, в каком именно порядке, по причине переместительности параллельных переносов), то начало О перейдет в некоторую вполне определенную точку Р; тогда говорят, что точка Р имеет абсциссу а и ординату b. Но можно и, обратно, каждой точке Р однозначным образом отнести два числа а и для этого достаточно произвести параллельный перенос, переводящий О в Р, а затем определить абсциссу и ординату точек пересечения осей в их новых положениях, в которые они при этом переходят, с их первоначальными положениями.

Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие (или отображение) между совокупностью всех точек плоскости и совокупностью всех числовых пар (а, b), так что мы действительно получаем полное определение координат на плоскости. Остается только исследовать, как должно теперь выглядеть уравнение прямой. Рассмотрим сначала прямую, идущую от О к она должна, очевидно, содержать все те точки, которые получаются при повторении параллельного переноса, переводящего О в Р, т. е. точки

с целочисленным К. Затем мы замечаем, что и все точки, определяемые этими уравнениями при рациональном и, наконец, при иррациональном Я, должны лежать на той же прямой, но что, с другой стороны, этим исчерпываются все ее точки. Таким образом, исключение параметра Я приводит уравнение прямой к такому виду:

или

Поэтому всякое уравнение вида

тоже изображает прямую, проходящую через О, если только не обращаются одновременно в нуль. Но ведь любую прямую можно получить из подходяще выбранной прямой, проходящей через О, путем параллельного переноса, из чего мы окончательно заключаем, что совокупность всех прямых изображается совокупностью всех уравнений первого порядка

которые носят название линейных уравнений.

Из того, что прямая изображается линейным уравнением, без труда получается методами аналитической геометрии значительная часть геометрических теорем. Не входя в детали, отмечу лишь, что таким образом можно вывести всю аффинную геометрию, а вместе с тем также и всю проективную геометрию.

Этих результатов мы достигаем, таким образом, на основе одних только специальных постулатов, относящихся к подгруппе параллельных переносов. Остановлюсь еще только на. одном факте, который понадобится нам в дальнейшем. Мы доказали раньше при помощи теорем проективной геометрии предложение Мёбиуса, согласно которому всякая коллинеация является проективным преобразованием, т. е. преобразованием, которое изображается дробно-линейными или соответственно целыми линейными подстановками координат. Но ведь согласно нашему первоначальному допущению движения представляют собой коллинеации, при которых каждой точке, находящейся на конечном расстоянии, соответствует также не бесконечно удаленная точка, а с другой стороны, мы теперь уже построили всю проективную геометрию, и поэтому с нашей теперешней точки зрения предложение Мёбиуса также имеет силу. В результате мы получаем, что каждое движение необходимым образом изображается целым линейным преобразованием только что введенных декартовых координат .