Главная > Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.2. Геометрия
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Систематизация аффинной и метрической геометрии на основе принципа Кэли

Включение основных понятий аффинной геометрии в проективную схему.

Здесь речь идет, конечно, об общей аффинной геометрии, в которой отнюдь не существует фиксированной особенной точки — начала координат, — как это имело место при рассмотренном вначале полном истолковании теории инвариантов.

Будем рассматривать сразу же трехмерное пространство с неоднородными координатами или соответственно с однородными координатами .

Тогда принцип Кэли говорит, что аффинная геометрия получается из проективной, если к имеющимся образам каждый раз присоединять бесконечно удаленную плоскость а метрическая геометрия получится, если, кроме того, присоединить мнимую окружность сфер

Изложение дальнейшего можно облегчить при помощи следующего замечания относительно этой окружности сфер: мы определили ее здесь посредством двух уравнений, т. е. как пересечение бесконечно удаленной плоскости и конуса, имеющего вершину в начале. Но мы можем также определить ее, как и вообще всякое коническое сечение, посредством одного только уравнения в плоскостных координатах, если рассматривать ее как огибающую всех касающихся ее плоскостей. Если обозначить, как это мы детали выше, «плоскостные координаты», т. е. коэффициенты линейной формы буквами уравнение окружности сфер получает, как нетрудно убедиться, такой вид

Другими словами, это уравнение является условием того, что плоскость касается окружности сфер. Теперь уже нетрудно понять, в чем состоит с точки зрения теории инвариантов переход от проективной к аффинной и соответственно к метрической геометрии: к заданным системам значений — координатам точек, линейным и квадратичным формам и т. д., — которые служат для описания рассматриваемой фигуры, присоединяем еще определенную линейную форму (т. е. систему коэффициентов 0, 0, 0, 1) или соответственно квадратичную форму написанную в плоскостных координатах. Трактуя расширенную таким путем систему форм точно таким же образом, как и раньше, т. е. устанавливая полную систему ее инвариантов и сизигий между ними и выделяя те из них, которые удовлетворяют условию однородности, мы получим все понятия и теоремы аффинной или соответственно метрической геометрии.

Вместе с этим связанная с теорией инвариантов систематика переносится на аффинную и метрическую геометрию, и я бы хотел снова указать на то (ср. с. 226), что таким образом, в частности, путем подчеркивания образования целых рациональных инвариантов и сизигий в геометрию вводится некоторая систематизирующая точка зрения, которая без этого остается почти незамеченной.

Вместо абстрактных рассуждений на эту тему я лучше сразу же разъясню и эти отношения на простых примерах тем, что я действительно покажу, как можно самые элементарные основные величины аффинной и метрической геометрии представить в виде совместных инвариантов как данной системы величин, так и формы или соответственно

Из области аффинной геометрии я возьму прежде всего в качестве примера объем Т тетраэдра, образованного четырьмя точками, который выражается, как известно, следующим образом:

Мы должны исследовать, насколько это выражение обладает упомянутым инвариантным свойством. Прежде всего, нам известно, что фигурирующий здесь определитель действительно является фундаментальным относительным инвариантом четырех точек — вершин тетраэдра. Но, с другой стороны, в знаменателе стоят значения (для этих четырех точек) линейной формы , присоединенной к нашей фигуре, а это ведь простейшие (абсолютные) инварианты, какие только вообще можно образовать с помощью некоторой формы. Разумеется, это надо понимать в том смысле, что после преобразования в знаменателе следует написать значения той формы, в которую переходит линейная форма , или что вообще в случае присоединения формы в знаменатель должно войти произведение четырех значений этой формы 132) для точек Таким образом, Т представляет собой также некоторый рациональный инвариант, а именно, он однороден и имеет нулевое измерение относительно координат каждой из четырех точек.

По отношению к коэффициентам нашей присоединенной линейной формы или соответственно , которые входят в знаменатель, Т имеет во всяком случае измерение — 4; поэтому ввиду произвольности общего множителя этих величин абсолютное значение инварианта Т в проективной геометрии нашей расширенной фигуры не может иметь никакого значения.

В действительности в аффинной геометрии на первых порах тоже нет никакого средства, которое позволило бы приписать тетраэдру определенное числовое значение объема, если только заранее не были установлены единичные отрезки или соответственно единичный тетраэдр, что мы всегда допускали при использовании неоднородных координат. Но с нашей теперешной общей точки зрения это означало бы, что мы присоединяем к фигуре сверх «бесконечно удаленной плоскости» еще дальнейшие элементы. Присоединяя, например, пятую точку и образуя частное двух выражений, составленных аналогично Т, получаем выражение, которое удовлетворяет всем условиям однородности и представляет поэтому также некоторый абсолютный инвариант аффинной геометрии. А отдельно взятое выражение Т является относительным инвариантом веса 1.

1
Оглавление
email@scask.ru