4. Систематизация аффинной и метрической геометрии на основе принципа Кэли

Включение основных понятий аффинной геометрии в проективную схему.

Здесь речь идет, конечно, об общей аффинной геометрии, в которой отнюдь не существует фиксированной особенной точки — начала координат, — как это имело место при рассмотренном вначале полном истолковании теории инвариантов.

Будем рассматривать сразу же трехмерное пространство с неоднородными координатами или соответственно с однородными координатами .

Тогда принцип Кэли говорит, что аффинная геометрия получается из проективной, если к имеющимся образам каждый раз присоединять бесконечно удаленную плоскость а метрическая геометрия получится, если, кроме того, присоединить мнимую окружность сфер

Изложение дальнейшего можно облегчить при помощи следующего замечания относительно этой окружности сфер: мы определили ее здесь посредством двух уравнений, т. е. как пересечение бесконечно удаленной плоскости и конуса, имеющего вершину в начале. Но мы можем также определить ее, как и вообще всякое коническое сечение, посредством одного только уравнения в плоскостных координатах, если рассматривать ее как огибающую всех касающихся ее плоскостей. Если обозначить, как это мы детали выше, «плоскостные координаты», т. е. коэффициенты линейной формы буквами уравнение окружности сфер получает, как нетрудно убедиться, такой вид

Другими словами, это уравнение является условием того, что плоскость касается окружности сфер. Теперь уже нетрудно понять, в чем состоит с точки зрения теории инвариантов переход от проективной к аффинной и соответственно к метрической геометрии: к заданным системам значений — координатам точек, линейным и квадратичным формам и т. д., — которые служат для описания рассматриваемой фигуры, присоединяем еще определенную линейную форму (т. е. систему коэффициентов 0, 0, 0, 1) или соответственно квадратичную форму написанную в плоскостных координатах. Трактуя расширенную таким путем систему форм точно таким же образом, как и раньше, т. е. устанавливая полную систему ее инвариантов и сизигий между ними и выделяя те из них, которые удовлетворяют условию однородности, мы получим все понятия и теоремы аффинной или соответственно метрической геометрии.

Вместе с этим связанная с теорией инвариантов систематика переносится на аффинную и метрическую геометрию, и я бы хотел снова указать на то (ср. с. 226), что таким образом, в частности, путем подчеркивания образования целых рациональных инвариантов и сизигий в геометрию вводится некоторая систематизирующая точка зрения, которая без этого остается почти незамеченной.

Вместо абстрактных рассуждений на эту тему я лучше сразу же разъясню и эти отношения на простых примерах тем, что я действительно покажу, как можно самые элементарные основные величины аффинной и метрической геометрии представить в виде совместных инвариантов как данной системы величин, так и формы или соответственно

Из области аффинной геометрии я возьму прежде всего в качестве примера объем Т тетраэдра, образованного четырьмя точками, который выражается, как известно, следующим образом:

Мы должны исследовать, насколько это выражение обладает упомянутым инвариантным свойством. Прежде всего, нам известно, что фигурирующий здесь определитель действительно является фундаментальным относительным инвариантом четырех точек — вершин тетраэдра. Но, с другой стороны, в знаменателе стоят значения (для этих четырех точек) линейной формы , присоединенной к нашей фигуре, а это ведь простейшие (абсолютные) инварианты, какие только вообще можно образовать с помощью некоторой формы. Разумеется, это надо понимать в том смысле, что после преобразования в знаменателе следует написать значения той формы, в которую переходит линейная форма , или что вообще в случае присоединения формы в знаменатель должно войти произведение четырех значений этой формы 132) для точек Таким образом, Т представляет собой также некоторый рациональный инвариант, а именно, он однороден и имеет нулевое измерение относительно координат каждой из четырех точек.

По отношению к коэффициентам нашей присоединенной линейной формы или соответственно , которые входят в знаменатель, Т имеет во всяком случае измерение — 4; поэтому ввиду произвольности общего множителя этих величин абсолютное значение инварианта Т в проективной геометрии нашей расширенной фигуры не может иметь никакого значения.

В действительности в аффинной геометрии на первых порах тоже нет никакого средства, которое позволило бы приписать тетраэдру определенное числовое значение объема, если только заранее не были установлены единичные отрезки или соответственно единичный тетраэдр, что мы всегда допускали при использовании неоднородных координат. Но с нашей теперешной общей точки зрения это означало бы, что мы присоединяем к фигуре сверх «бесконечно удаленной плоскости» еще дальнейшие элементы. Присоединяя, например, пятую точку и образуя частное двух выражений, составленных аналогично Т, получаем выражение, которое удовлетворяет всем условиям однородности и представляет поэтому также некоторый абсолютный инвариант аффинной геометрии. А отдельно взятое выражение Т является относительным инвариантом веса 1.