2. Другое обоснование метрической геометрии; роль аксиомы параллельности
Расстояние, угол, конгруэнтность как основные понятия.
Отличие этого обоснования по сравнению с первым построением заключается в том, что здесь идея движения последовательно избегается (либо вводится лишь в дальнейшем в качестве дополнительного раздела).
Если в древности (как и теперь еще) часто отдавали предпочтение такому именно порядку изложения, то это вызывалось, несомненно (хотя бы отчасти), философскими соображениями, о которых я хочу сказать здесь хоть несколько слов. Опасались того, что вместе с движениями в геометрию войдет чуждый ей элемент — время; и если, с одной стороны, пытались помещать на первый план движения, оправдывая это большой наглядностью идеи твердого тела, то, с другой стороны, на это возражали, что эта идея не только не имеет сама по себе точно уловимого смысла, но, как раз, наоборот, может быть обоснована лишь после того, как уже приобретено понятие расстояния. Конечно, на это эмпирист со своей стороны всегда может ответить, что в действительности абстрактная идея расстояния извлекается из наличия «достаточно» твердых тел.
А теперь разрешите мне указать вкратце основные мысли этого второго построения геометрии.
1) Здесь начинают, как и раньше, с введения точек и прямых и с предложений (аксиом), касающихся их соединения, расположения, непрерывности.
2) Но при этом вводят — и это здесь является новым — в качестве новых основных понятий, с одной стороны, расстояние между двумя точками (длина отрезка), а с другой — угол между двумя прямыми и устанавливают относительно них аксиомы, сущность которых заключается в утверждении того, что отрезки и углы могут быть общеизвестным образом измерены посредством чисел,
3) В качестве характерной (для второго построения) аксиомы, которая замещает, собственно говоря, аксиомы группы движений, здесь выступает первое предложение о конгруэнтности треугольников: если две стороны и заключенный между ними угол одного треугольника равны соответственным элементам другого треугольника, то оба треугольника конгруэнтны, т. е. все их соответственные элементы равны друг другу. В нашей прежней системе это является доказуемым предложением; можно указать движение, которое приводит (рис. 121) сторону АВ к наложению на АВ; тогда в силу сделанного предположения сторона АС тоже непременно совпадает с АС и вообще треугольники окажутся совмещенными.
Если же мы не включаем движения в число основных понятия и, следовательно, не можем их применять, то нет никакой возможности доказать эту теорему, и мы вынуждены постулировать ее как новую аксиому.
Рис. 121
4) При дальнейшем развитии идей поступают как раз обратно тому, что имело место при нашем первом построении, как это вам, конечно, известно. Элементарное преподавание геометрии следует, примыкая по существу к Евклиду, о котором позже мне придется еще подробно говорить, в точности этому (второму) пути. Сначала доказывают теорему Пифагора и затем вводят тригонометрические функции (косинус и синус) в связи с их ролью в учении о треугольниках, а отсюда уже приходят, наконец, к такому же аналитическому аппарату, как и раньше.
Рис. 122
