Полная интерпретация по Штаудту отдельных мнимых элементов.

Можно, конечно, сказать, что эти рассуждения представляют собой скорее обход мнимого в геометрии, чем его истолкование. Действительную же интерпретацию отдельных мнимых точек, прямых и плоскостей Штаудт дал впервые лишь в своих «Добавлениях» 1856—1860 гг. путем дальнейшего развития изложенного выше подхода. Я хочу разъяснить вам и эту интерпретацию, так как она по сути является чрезвычайно простой и остроумной и только в абстрактном изложении Штаудта кажется крайне странной и трудной. При этом я во всем буду следовать тому ее аналитическому изложению, какое дал Штольц в 1871 г. Штольц, бывший тогда со мною вместе в Гёттингене, прочитал всего Штаудта, чего я сам никогда не мог сделать. Из бесед со Штольцем я и познакомился с различными очень интересными также и в других отношениях идеями Штаудта, над которыми я впоследствии много работал сам. В нижеследующем я снова остановлюсь только на важнейших чертах хода идей Штаудта, не приводя полностью всех деталей; при этом будет совершенно достаточно ограничиться случаем плоскости.

Начнем с предположения, что нам задана некая мнимая точка Р своими тремя комплексными координатами ; разлагая их на действительную и мнимую части, пишем

Зададимся целью построить некую действительную фигуру, которая давала бы истолкование этой точки Р, причем связь этих двух образов должна быть проективной, т. е., выражаясь точнее, не должна нарушаться ни при каком действительном проективном преобразовании.

1) Первый шаг в указанном направлении заключается в том, что мы фиксируем внимание на тех двух действительных точках однородными координатами которых служат, действительные и соответственно умноженные на —i мнимые части (что дает коэффициенты при i) заданных координат точки Р:

Эти две точки различны, т. е. не имеют места равенства ибо в противном случае относились бы друг к другу как три действительные величины и изображали бы поэтому действительную точку. Поэтому точки определяют некоторую действительную прямую g, уравнение которой имеет, как известно, вид

на этой прямой лежит как заданная мнимая точка, так и ее «комплексно сопряженная точка» Р с координатами

так как обе тройки координат (1), (Г) удовлетворяют, очевидно, уравнению прямой (2).

2) Конечно, построенная таким образом пара точек ни в коем случае не может служить действительным представителем мнимой точки Р, ибо она весьма существенным образом зависит от самих конкретных значений , тогда как точка Р характеризуется только отношениями этих чисел. Следовательно, получится та же самая точка Р, если мы вместо напишем их произведения

(3)

на произвольную комплексную константу:

но тогда, разделяя вновь действительную и мнимую части, мы получим вместо точек уже другие действительные точки с координатами:

Рассматривая совокупность всех пар точек получаемых таким образом при всевозможных значениях мы приходим к некоторому геометрическому образу, для которого имеют значение только отношения т. е. только «геометрическая» точка Р, и который поэтому вполне годится быть представителем для Р. Кроме того, связь этого образа с Р является в самом Деле проективной, ибо при любом линейном действительном преобразовании величин их компоненты подвергаются, очевидно, тому же преобразованию.

Рис. 93

3) Чтобы теперь исследовать ближе геометрическую природу этой совокупности точечных пар, заметим прежде всего, что, каково бы ни было , точки всякий раз лежат на прямой (рис. 93), ибо их координаты удовлетворяют, очевидно, уравнению (2). Далее, когда пробегает всевозможные комплексные значения, т. е. когда принимают всевозможные действительные значения (причем их общий действительный множитель не имеет существенного значения), пробегает все действительные точки прямой g, а всегда представляет собой какую-то другую действительную точку той же прямой g, однозначно сопоставленную с первой; в частности, при получаются в качестве сопоставленных точек точки Это сопоставление сделается более наглядным, если ввести отношение а именно, тогда будем иметь

для

4) Из этих формул можно далее легко заключить, что при переменном X точки как раз пробегают по всем парам тоек некоторой инволюции на прямой g. В самом деле, при введении на прямой g системы координат однородные координаты каждой точки или соответственно оказываются, как известно, целыми линейными функциями параметра или соответственно уравнений (ЗЬ).

Поэтому уравнение — 1, связывающее между собой оба эти параметра, устанавливает некоторое симметрическое билинейное соотношение между координатами точек а этим в силу определения на с. 190 и доказывается наше утверждение.

5) Основные точки, т. е. соответствующие самим себе точки этой инволюции, получаем при следовательно, при обе они оказываются мнимыми, а именно, одна из них совпадает с нашей исходной точкой Р, а вторая является комплексно сопряженной с ней точкой Р. Пока что мы пришли, таким образом, всего лишь к новому изложению прежних штаудтовских идей. Наряду с точкой Р мы ввели в рассмотрение точку Р, которая дополняет точку Р до некоторого одномерного образа второго порядка, определяемого некоторым действительным квадратным уравнением, и построили в качестве действительного представителя этого образа соответственную инволюцию. Замечу еще, что такая инволюция будет вполне определена, если известны две какие-нибудь пары ее точек, например для того же, чтобы основные точки этой инволюции были мнимыми, необходимо и достаточно, чтобы эти пары точек находились в «скрещенном положении» (разделяли друг друга), т. е. чтобы одна из точек находилась между а вторая вне отрезка

6) Для полного решения нашей задачи нам не хватает теперь еще только средства, позволяющего превратить этого общего представителя двух точек Р и Р в представителя одной только точки Р (или только точки Р); Штаудт нашел такое средство лишь в 1856 г., пользуясь одной очень красивой идеей.

А именно, точка с координатами

пробегает прямую g в одном вполне определенном направлении (или «в определенную сторону») (рис. 94), если заставить А пробежать от нуля по всем действительным положительным значениям до и затем через все отрицательные значения опять вернуться к нулю.

Рис. 94

Легко убедиться в том, что мы получили бы то же самое направление на g, если бы исходили из координат точки Р, умноженных на произвольный множитель , т. е. если бы рассматривали точку что, далее, при действительном проективном преобразовании точки Р направление движения точки-изображения получается из только что определенного направления с помощью того же преобразования. Поэтому будет вполне согласным с нашими требованиями, если мы раз навсегда условимся сопоставлять это направление движения с первоначальной точкой Р, имеющей координаты А так как комплексно сопряженная точка Р имеет координаты то с нею, согласно этому условию, приходится сопоставлять то направление движения, которое имеет точка с координатами при положительно возрастающем А (от нуля через положительные значения к и затем от до нуля), т. е. направление на прямой g, прямо противоположное предыдущему направлению движения, и этим достигается желательное различение. Выражаясь кратко, мы попросту вводим различение между тем, что мы различаем положительный и отрицательный пробег действительных -значений. Вместе с тем мы получили в конце концов следующее правило для однозначного и проективно инвариантного построения действительной геометрической фигуры, представляющей мнимую точку

Строим точки соединяющую их прямую g и ту инволюцию точек на прямой g (или соответственно еще одну пару ее точек), в которой точки

и

являются попарно сопряженными; наконец, присоединяем еще стрелку, указывающую направление движения точки при положительно возрастающем Я.

7) Нам осталось еще убедиться в том, что также и, обратно, каждая такая действительная фигура, состоящая из прямой, двух лежащих на ней в скрещенном положении пар точек (или соответственно из точечной инволюции без действительных двойных точек) и стрелки, указывающей направление, представляет одну и только одну мнимую точку. В самом деле, присоединяя некоторый надлежаще выбранный действительный постоянный множитель, можно без труда — я опять-таки разрешаю себе не вдаваться здесь в подробности — придать координатам точки такие значения чтобы координаты точек находились в отношениях

и

или, Что то же самое, чтобы двойные точки заданной инволюции имели координаты знаком же параметра Я, который после этого еще остается произвольным, следует распорядиться так, чтобы направление движения точки при положительно возрастающем, начиная от нуля, параметре соответствовало направлению, заданному стрелкой. Тогда точке Р с координатами будет соответствовать в силу предыдущих рассуждений как раз заданная инволюция с заданным направлёнцем движения в качестве ее действительного представителя.

Далее, можно убедиться в том, что, исходя из какой-нибудь другой пары точек этой инволюции, мы придем к тем же самым отношениям координат, т. е. к той же точке Р.

Решив таким образом нашу проблему для точки, мы можем (оставаясь на же перенести это решение и на случай прямой, пользуясь принципом двойственности. В результате для комплексной прямой ее однозначным представителем в действительной - области является действительная точка, две пары лучей, принадлежащие пучку лучей с центром в этой точке и разделяющие одна другую (или соответственно некоторая инволюция лучей без действительных двойных лучей) и, наконец, определенное направление вращения в этом пучке (рис. 95).

Рис. 95

Эти интерпретации позволяют также и в этом заключается их громадное значение — представлять все соотношения между комплексными элементами или между комплексными и действительными элементами при помощи наглядных свойств исключительно действительных геометрических фигур.