I. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Аналитическое определение и основные свойства.

Аффинное преобразование аналитически определяется тем, что х, у, z являются произвольными целыми линейными функциями от

Это название (латинское прилагательное , происходящее от слов и — «конец», означает «смежный») восходит к Мёбиусу и еще далее к Эйлеру. Оно должно выражать, что при таком преобразовании бесконечно удаленным точкам всегда соответствуют опять-таки бесконечно удаленные точки, т. е. что, так сказать, «концы» пространства сохраняются (переходят друг в друга); в самом деле, из написанных формул немедленно получается, что х, у, z становятся бесконечными одновременно с х, у, z.

В противоположность этому при изучаемых в дальнейшем общих проективных преобразованиях, при которых являются дробно-линейными функциями х, у, z, некоторые лежащие на конечном расстоянии точки переходят в бесконечно удаленные в связи с указанным видом функций.

В физике аффинные преобразования, под названием однородных деформаций, играют очень большую роль; слово «однородный» выражает здесь (в противоположность «разнородному») независимость коэффициентов от рассматриваемого места в пространстве, слово же «деформация» напоминает о том, что при этом преобразовании, вообще говоря, изменяется форма тела.

Преобразование (1) можно, очевидно, составить из параллельных переносов пространства на параллельно трем координатным осям и из однородного линейного преобразования, уже не содержащего свободных (постоянных) членов:

это последнее преобразование оставляет неизменным положение начала (центрально аффинное преобразованне) и является несколько более удобным для исследования.

1) Прежде всего рассмотрим вопрос о разрешимости системы уравнений (2). Как учит теория определителей, вопрос сводится к тому, обращается ли в нуль определитель

составленный из коэффициентов этого преобразования, или нет. Случаем мы позже займемся особо, а пока будем считать, что При этом условии система (2) однозначно разрешима, а именно,

причем коэффициенты оказываются равными соответствующим минорам определителя , деленным на сам этот определитель. Каждой точке соответствует, таким образом, одна и только одна точка , и переход от также является аффинным преобразованием.

2) Теперь можно поставить вопрос о том, как изменяются пространственные образы при этих аффинных преобразованиях. Если сначала возьмем плоскость

то, вводя выражения (4) для x, у, z, получаем такое уравнение соответствующего образа:

где составляются вполне определенным образом из А, D и коэффициентов преобразования. При этом в силу каждая точка второй плоскости получается из некоторой надлежаще выбранной точки первой плоскости. Итак, каждой плоскости соответствует опять некоторая плоскость. А поскольку всякая прямая является линией пересечения двух плоскостей, то, кроме того, каждой прямой должна обязательно соответствовать также некоторая прямая.

Преобразования, обладающие таким свойством, Мёбиус называет коллинеадиями, ибо они сохраняют «коллинеарность» трех точек, т. е. их свойство лежать на одной прямой. Таким образом, всякое аффинное преобразование представляет собой обязательно некоторую коллинеацию.

Исследуя таким же образом поверхность второго порядка

а именно, заменяя их выражениями (4) через , получим тоже некоторое уравнение второй степени, т. е. аффинное преобразование переводит каждую поверхность второго порядка снова в поверхность второго порядка и вообще каждую поверхность порядка опять в некоторую поверхность порядка.

Особенный интерес будут иметь для нас позже те поверхности, которые соответствуют некоторой сфере. Прежде всего, согласно предыдущему, такими поверхностями могут быть только поверхности второго порядка, ибо сфера является частным случаем поверхности этого вида; поскольку же все точки сферы расположены в конечной части пространства, т. е. ни одна из них не может после преобразования оказаться переброшенной в бесконечность, то наши поверхности обязательно должны быть поверхностями второго порядка, лежащими целиком в ограниченной части пространства, т. е. эллипсоидами.

3) Посмотрим теперь, что получается из свободного вектора с компонентами

Применяя к координатам точек 1 и 2 формулы преобразования (2), получаем для компонент

соответствующего отрезка формулы

Эти новые компоненты зависят, таким образом, только от X, Y, Z, а не от отдельных значений координат т. е. совокупности всех отрезков 12 с одинаковыми компонентами X, Y, Z соответствует совокупность отрезков 1 2 тоже с одинаковыми компонентами X, Y, Z, или, другими словами: каждому свободному вектору соответствует при аффинном преобразовании опять-таки некоторый свободный вектор. В этом утверждении содержится существенно больше, чем в том, что каждой прямой соответствует некоторая прямая. А именно, равные и одинаково направленные отрезки на двух параллельных прямых изображают один и тот же свободный вектор, поэтому и соответствующие им отрезки должны изображать один и тот же вектор, т. е. быть параллельными, одинаково направленными и равными между собой (рис. 50).

Рис. 50

Каждой системе параллельных прямых соответствуют, следовательно, опять-таки параллельные прямые, а равным отрезкам на них — также равные (между собой) отрезки. Эти свойства тем более значительны, что вообще — как нетрудно убедиться — длина отрезка и величина угла между двумя прямыми изменяются при аффинном преобразовании.

4) Рассмотрим теперь два вектора неодинаковой длины на одной и той же прямой. Они, как известно, получаются один из другого умножением на некоторый скаляр; поскольку же являются, согласно формуле (5), однородными линейными функциями от X, Y, Z, то соответствующие им векторы тоже отличаются один от другого как раз только этим самым множителем, а это означает, что их длины относятся друг к другу, как длины первоначальных векторов.

Этот результат можно высказать еще и так: две прямые, переходящие одна в другую при некотором аффинном преобразовании, находятся в отношении «подобия» друг к другу, т. е. соответственные отрезки на обеих прямых имеют одно и то же отношение.

5) Наконец, сравним еще объемы двух соответственных тетраэдров

Имеем

Применяя известную теорему об умножении определителей, получаем отсюда равенство

в котором первый множитель есть , а второй равен . Таким образом,

Следовательно, при аффинных преобразованиях объемы всех тетраэдров, а потому и вообще объемы всех тел (как суммы объемов тетраэдров или как пределы таких сумм) умножаются на некоторый постоянный множитель, а именно, на определитель преобразования .