Главная > Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.2. Геометрия
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

О лежандровой теории параллельных прямых.

Особенное внимание он уделяет теории параллельных прямых и на этом я остановлюсь несколько подробнее. Здесь я имею в виду первые издания книги Лежандра, так как в позднейших обработках как раз в этом отношении внесены большие изменения.

Начну с такого замечания: мы охарактеризовали выше евклидову и обе неевклидовы геометрии тем, что число прямых, проходящих через данную точку параллельно данной прямой, равно единице, нулю или двум.

Но вместо этого можно также рассматривать сумму углов любого прямолинейного треугольника, что дает такое, как можно доказать, вполне равносильное предыдущему различение. В случае евклидовой геометрии эта сумма равна в неевклидовой геометрии первого рода (гиперболической) она всегда меньше пив геометрии второго рода (эллиптичен ской) она непременно бывает больше . И вот Лежандр желает доказать, что обе последние возможности исключаются. Но доказать это — все равно, что доказать евклидову аксиому о параллельных; поэтому Лежандр может достичь своей цели, только заимствуя у интуиции некоторые простые принципы, неявно включающие аксиому параллельности, и все его искусство сводится к выбору в качестве этих принципов настолько правдоподобных положений, что ни читатель, ни даже, несомненно, сам автор не замечают того, что речь идет фактически о новых ограничительных предположениях (постулатах).

Что касается, прежде всего, невозможности эллиптической геометрии, т. е. того, что сумма углов больше я, то в основе весьма примечательного доказательства Лежандра лежит молчаливое допущение того, что длина прямой бесконечна. Конечно, это крайне правдоподобное допущение, и в его справедливости не сомневались ни Лежандр, ни кто-либо из его читателей, да и все последующие геометры, предшествовавшие Риману, считали его самоочевидным. И все же эллиптическая геометрия показывает, что со всеми прочими аксиомами совместимо также допущение конечной длины у прямой, если только принять, что она неограниченна и, следовательно, сама собой замыкается. Необходимо поэтому отдавать себе ясный отчет в том, что вместе с бесконечной длиной прямой вводится новый факт интуиции, имеющий решающее значение.

Чтобы таким же образом исключить возможность гиперболической геометрии, Лежандр снова пользуется, не оговаривая этого особо, одним простым интуитивным фактом, в котором никогда не усомнится ничей рассудок, еще, так сказать, не испорченный занятиями геометрией: если Р — какая-либо точка внутри угла, образованного двумя полупрямыми , то всегда можно провести через Р прямую, которая пересекала бы как а, так и (рис. 142).

При помощи этого предположения Лежандру удается доказать безупречным образом, что сумма углов в треугольнике никогда не может быть также и меньше , так что остается в конце концов возможной одна только евклидова геометрия.

Теперь я должен выяснить, почему этот столь тривиальный факт не имеет места в неевклидовой геометрии первого рода, тогда только мы сможем вполне понять, почему Лежандру удается, пользуясь этим фактом, исключить названную геометрию.

Рис. 142

Рис. 143

Будем исходить в точности из нашего прежнего изложения.

Пусть — два луча гиперболической геометрии, исходящие из точки О, которая, конечно, должна лежать где-нибудь внутри основного конического сечения (рис. 143). Тогда всеми параллелями по отношению к а являются лучи, проходящие через точку пересечения луча а этим коническим сечением (т. е. через бесконечно удаленную точку луча а), поскольку они проходят внутри последнего; подобным же образом обстоит с параллелями к . Поэтому существует прямая у, параллельная как по отношению к лучу а, так и к , а именно, прямая, соединяющая точки пересечения лучей а и с коническим сечением . В евклидовой геометрии это, конечно, не может иметь места. Если теперь взять точку Р между , но вне треугольника, ограниченного прямыми (и внутри нашего конического сечения), то для нее лежандрово допущение уже не имеет места: ведь всякая прямая, проходящая через Р, пересечет только один из лучей внутри конического сечения, а другой луч она пересечет вне последнего, т. е. в смысле нашей геометрии вовсе его не пересечет.

Но это как раз я и хотел здесь показать.

1
Оглавление
email@scask.ru