О лежандровой теории параллельных прямых.

Особенное внимание он уделяет теории параллельных прямых и на этом я остановлюсь несколько подробнее. Здесь я имею в виду первые издания книги Лежандра, так как в позднейших обработках как раз в этом отношении внесены большие изменения.

Начну с такого замечания: мы охарактеризовали выше евклидову и обе неевклидовы геометрии тем, что число прямых, проходящих через данную точку параллельно данной прямой, равно единице, нулю или двум.

Но вместо этого можно также рассматривать сумму углов любого прямолинейного треугольника, что дает такое, как можно доказать, вполне равносильное предыдущему различение. В случае евклидовой геометрии эта сумма равна в неевклидовой геометрии первого рода (гиперболической) она всегда меньше пив геометрии второго рода (эллиптичен ской) она непременно бывает больше . И вот Лежандр желает доказать, что обе последние возможности исключаются. Но доказать это — все равно, что доказать евклидову аксиому о параллельных; поэтому Лежандр может достичь своей цели, только заимствуя у интуиции некоторые простые принципы, неявно включающие аксиому параллельности, и все его искусство сводится к выбору в качестве этих принципов настолько правдоподобных положений, что ни читатель, ни даже, несомненно, сам автор не замечают того, что речь идет фактически о новых ограничительных предположениях (постулатах).

Что касается, прежде всего, невозможности эллиптической геометрии, т. е. того, что сумма углов больше я, то в основе весьма примечательного доказательства Лежандра лежит молчаливое допущение того, что длина прямой бесконечна. Конечно, это крайне правдоподобное допущение, и в его справедливости не сомневались ни Лежандр, ни кто-либо из его читателей, да и все последующие геометры, предшествовавшие Риману, считали его самоочевидным. И все же эллиптическая геометрия показывает, что со всеми прочими аксиомами совместимо также допущение конечной длины у прямой, если только принять, что она неограниченна и, следовательно, сама собой замыкается. Необходимо поэтому отдавать себе ясный отчет в том, что вместе с бесконечной длиной прямой вводится новый факт интуиции, имеющий решающее значение.

Чтобы таким же образом исключить возможность гиперболической геометрии, Лежандр снова пользуется, не оговаривая этого особо, одним простым интуитивным фактом, в котором никогда не усомнится ничей рассудок, еще, так сказать, не испорченный занятиями геометрией: если Р — какая-либо точка внутри угла, образованного двумя полупрямыми , то всегда можно провести через Р прямую, которая пересекала бы как а, так и (рис. 142).

При помощи этого предположения Лежандру удается доказать безупречным образом, что сумма углов в треугольнике никогда не может быть также и меньше , так что остается в конце концов возможной одна только евклидова геометрия.

Теперь я должен выяснить, почему этот столь тривиальный факт не имеет места в неевклидовой геометрии первого рода, тогда только мы сможем вполне понять, почему Лежандру удается, пользуясь этим фактом, исключить названную геометрию.

Рис. 142

Рис. 143

Будем исходить в точности из нашего прежнего изложения.

Пусть — два луча гиперболической геометрии, исходящие из точки О, которая, конечно, должна лежать где-нибудь внутри основного конического сечения (рис. 143). Тогда всеми параллелями по отношению к а являются лучи, проходящие через точку пересечения луча а этим коническим сечением (т. е. через бесконечно удаленную точку луча а), поскольку они проходят внутри последнего; подобным же образом обстоит с параллелями к . Поэтому существует прямая у, параллельная как по отношению к лучу а, так и к , а именно, прямая, соединяющая точки пересечения лучей а и с коническим сечением . В евклидовой геометрии это, конечно, не может иметь места. Если теперь взять точку Р между , но вне треугольника, ограниченного прямыми (и внутри нашего конического сечения), то для нее лежандрово допущение уже не имеет места: ведь всякая прямая, проходящая через Р, пересечет только один из лучей внутри конического сечения, а другой луч она пересечет вне последнего, т. е. в смысле нашей геометрии вовсе его не пересечет.

Но это как раз я и хотел здесь показать.