Основная теорема Польке.

7. Составив себе, таким образом, полную картину природы аффинных соответствий (3) с равным нулю определителем, мы должны еще сделать последний, решающий шаг в наших исследованиях, а именно, показать, что упомянутые аффинные соответствия действительно возникают при аксонометрическом проектировании так, как мы это утверждали выше. Здесь главную роль играет так называемое фундаментальное предложение аксонометрии, которое К. Польке, профессор начертательной геометрии в строительной академии в Берлине, открыл в 1853г. и опубликовал в 1860 г. в своем «Учебнике начертательной геометрии».

В одной своей работе Шварц впервые опубликовал элементарное доказательство этого пред ложения и одновременно подробно: описал интересную историю его открытиа.

Сам Польке определяет аксонометрию не аналитически, а геометрически как изображение пространства параллельными лучами (связанное еще а случае необходимости с некоторым преобразованием, подобия); его теорема утверждает тогда, что при таком изображении единичные векторы (исходящие из начала) на осях прямоугольной системы координат в пространстве могут перейти в три произвольных вектора на плоскости Е, исходящих из точки О» В том, что наше отображение, определенное аналитически, действительно приводит к таким трем произвольным векторам, мы смогли легко убедиться в п. 3; для нас поэтому более глубокий смысл предложения Польке заключается в том, что произвольное отображение (3) (с. 125), определенное аналитически, может быть получено геометрически путем параллельного проектирования и изменения масштаба, причем параллельные прямые, упомянутые в п. 1, оказываются проектирующими лучами.

8. Я хотел бы здесь наметить примерный ход прямого аналитического доказательства сформулированного таким образом предложения. Направляя наше внимание на два семейства параллельных плоскостей пространства

(где — переменные параметры), мы замечаем, что каждая пара значений определяет одну из названных параллельных прямых. Если бы нам удалось поместить в пространстве R картинную плоскость Е, а на ней такую прямоугольную систему координат х, у с подходящим масштабом, чтобы каждый луч пересекал эту картинную плоскость Е в точке , то отображение (3) действительно было бы геометрически осуществлено желаемым образом.

Но для этого, прежде всего, плоскости должны пересекать упомянутую плоскость Е по координатным осям и соответственно т. е. по взаимно перпендикулярным прямым; обозначим через углы (определяющие положение плоскости Е) между прямой (рис. 63) я каждой из этих осей, а через а (известный нам) угол между плоскостями тогда по известной из сферической тригонометрии теореме косинусов, примененной к трехгранному углу, образованному плоскостями и Е, косинус угла между прямыми равен ; следовательно, этот угол будет прямым в том и только в том случае, если

Но каждая плоскость

пересекает E по прямой ; если -пересечение этой прямой с осью то соответствующее значение оказывается равным с точностью до подлежащего еще определению масштабного множителя К системы координат на ?; опуская перпендикуляры на плоскость и соответственно на прямую получаем

а поскольку как кратчайшее расстояние между плоскостями легко вычисляется по известной формуле аналитической геометрии в пространстве, то окончательно имеем

Рис. 63

Совершенно аналогично получаем выражение для координаты у точек, лежащих на линии пересечения плоскости с плоскостью Е:

Для того же чтобы каждый луч, определяемый любой парой значений параметров пересекал, согласно нашему желанию, плоскость Е как раз в точке необходимо, чтобы

откуда для получается второе уравнение

Очень простое вычисление показывает, что уравнения, дают для тйлько одну, пару действительных решений, определенных с точностью до знака ±; другими словами, имеется, по существу, только одно (т. е. не считая симметрии относительно плоскости, нормальной к прямой положение плоскости Е, для которого реализуется аксонометрическое аффинное соответствие коль скоро масштаб для прямоугольной системы координат на Е выбран сообразно равенствам (b). Весь этот ход идей можно еще больше геометризовать, если исходить из того условия, что единичные точки на осях х и у (т. е. точки, для которых и соответственно должны попасть на прямые Тогда наша задача принимает такую форму: найти плоскость Е, которая пересекла бы заданную треугольную призму по прямоугольному равнобедренному треугольнику.

После этого подробного изложения едва ли является необходимым долго останавливаться на уже высказанном выше обратном утверждении: каждая аксонометрическая проекция представляет собой некоторое аффинное преобразование с определителем, равным нулю. В справедливости этого предложения можно убедиться, применяя, как и выше (с. 116), на картинной плоскости Е сначала косоугольные координаты, получаемые, из осей х и у пространства R путем параллельного проектирования, и переходя затем путем некоторой линейной подстановки к наперед заданной на Е прямоугольной системе координат.

Заканчивая этим настоящую главу об аффинных соответствиях, обращу ваше внимание еще на возможность получить экспериментальным путем наглядное представление о возникновении аксонометрического изображения, а именно, отбрасывая на экран с помощью проекционного фонаря (который следует представить себе расположенным крайне далеко) теневые изображения некоторых простых моделей (квадрата, круга, эллипса, куба); при этом вы получите точное подтверждение наших результатов о преобразовании фигур и, в частности, сможете легко подтвердить на опыте также и справедливость теоремы Польке, подвергая теневое изображение трех взаимно перпендикулярных штанг всевозможным изменениям, получаемым при передвижении как самой модели, так и проекционной плоскости (экрана).

Теперь мы переходим к новой главе, которая рассматривает более общие, а именно проективные преобразования, охватывающие аффинные преобразования как частные случаи.