Основы векторной алгебры.

Посмотрим теперь, как посредством комбинаций заданных основных образов (векторов и скаляров обоего рода) можно получать другие образы таких же. типов. Начнем с совершенно простого примера. Пусть Т — скаляр второго рода, например объем тетраэдра, а X, Y, Z — координаты полярного вектора; рассмотрим тройку величин . При собственных движениях эти три величины преобразуются так же, как компоненты вектора X, Y, Z, а при симметрии системы координат относительно начала они останутся неизменными, ибо оба множителя меняют знак. Следовательно, эти три величины представляют собою аксиальный вектор. Точно так же, исходя из аксиального вектора получим полярный вектор

Возьмем теперь два полярных вектора и станем составлять из них комбинации различного характера сначала в чисто аналитической форме. Исследуя затем поведение создаваемых величин при преобразованиях координат, будем заключать отсюда, к какому виду геометрических величин они принадлежат.

1) Начнем с трех сумм

они, очевидно, преобразуются таким же образом, как и сами компоненты вектора, и представляют собой, следовательно, новый полярный вектор, который с обоими заданными векторами находится в чисто геометрической связи, не зависящей от выбора системы координат.

2) Билинейная комбинация компонент обоих векторов

остается, как показывает вычисление, неизменной при всех собственных движениях и при зеркальных отражениях. Следовательно, она представляет собой скаляр первого рода, который, следовательно, также должен допускать чисто геометрическое определение.

3) Три минора матрицы

составленной из этих компонент, ведут себя, как легко можно вычислить, точно таким же образом, как координаты свободного плоскостного элемента, или аксиального вектора-, этот последний тоже должен быть связан с заданными векторами независимо от системы координат.

4) Рассматриваем, наконец, три полярных вектора и составляем из их девяти компонент определитель

он остается неизменным при всех собственных движениях, при симметрии же он меняет знак, так что он определяет собой скаляр второго рода.

Теперь я дам геометрическое истолкование этих образов; высказанные мною результаты вы сможете сами дополнить доказательствами; это будет легко сделать, если только вы будете всегда исходить из надлежащим образом выбранного положения системы координат.

К 1). Геометрический смысл определенной здесь так называемой «суммы двух векторов» общеизвестен; помещая начала обоих векторов в одну точку, получим эту сумму в виде диагонали построенного на них параллелограмма, направленной из этой точки (правило параллелограмма сил, рис. 43).

Рис. 43

Рис. 44

К 2). Если взятые векторы имеют длины а их направления образуют угол (рис. 44), то приведенная билинейная комбинация равна

К 3). Снова рассматриваем параллелограмм, стороны которого параллельны векторам 1 и 2 (рис. 45), обходимый так, как указывает последовательность направлений векторов 1 и получаем вполне определенный свободный плоскостной элемент, который как раз совпадает с элементом, определенным выше его тремя координатами.

Между прочим, модуль его площади равен

К 4). Если приложить все три вектора к одной точке, то они образуют три ребра некоторого параллелепипеда (рис. 46); его объем — с надлежаще определенным знаком — оказывается равным скаляру второго рода, определяемому нашим детерминантом.

Рис. 45

Рис. 46

В каком же виде фигурируют эти процессы в литературе, где главным моментом не является, как это было у нас, исследование поведения известных аналитических выражений при преобразованиях координат, т. е. рациональная и простая теория инвариантов?

Там, в механике, и физике, выработали, следуя Грассману и Гамильтону, особую терминологию и говорят о так называемых векторной алгебре и векторном анализе, в которых образование новых векторов и скаляров из заданных векторов сравнивают с элементарными арифметическими операциями над обыкновенными числами.

Прежде всего, действие, введенное в п. 1), называют (как я уже отметил) просто сложением двух векторов 1 и 2. Оправдание такого названия находят в том, что здесь имеют силу определенные формальные законы, характеризующие сложение обыкновенных чисел, в частности законы коммутативный и ассоциативный. Первый из них утверждает, что определение «суммы» не зависит от последовательности, в которой берут оба вектора 1, 2, второй — что прибавление суммы векторов 1 и 2 к вектору 3 дает тот же результат, что и прибавление вектора 1 к сумме векторов 2 и 3.

Гораздо меньше оснований было назвать операции, определенные в пп. 2) и 3), умножением, а именно, их различают как внутреннее или скалярное и как внешнее или векторное умножение. Здесь оказывается верным то важное свойство, которое называют дистрибутивностью умножения относительно сложения и которое заключается в равенстве в самом деле, для внутреннего умножения имеем

так же престо выводится аналогичное свойство для внешнего умножения. Что же касается других формальных законов умножения — я ими подробно занимался в моем последнем курсе, — то упомяну еще только, что для внутреннего умножения имеет место и коммутативный закон для внешнего же он несправедлив, ибо миноры матрицы, определяющей внешнее произведение, изменяют знак при перестановке векторов 1 и 2.

Я хотел бы здесь еще отметить, что часто внешнее произведение двух полярных векторов определяют просто как «вектор», не подчеркивая в достаточной степени его аксиальный характер. Конечно, на основании вышеуказанного (на с. 75) соответствия общего характера, этот свободный плоскостной элемент тотчас же можно заменить вектором, что дает такое правило:

Внешним произведением двух векторов 1 и 2 является вектор 3 длины перпендикулярный их плоскости и направленный так, чтобы взаимная ориентация векторов 1, 2, 3 была такой же, как и ориентация положительных осей (рис. 47). Не следует, однако, ни в коем случае забывать, что это определение весьма существенным образом зависит от ориентации системы координат и от масштаба.

Рис. 47