Мнимое преобразование.

В дополнение к этому я хотел бы еще сказать несколько слов о так называемом мнимом преобразовании. Под этим названием понимают коллинеации с мнимыми коэффициентами, которые переводят преимущественно интересующие нас мнимые точки в действительные точки. Так, здесь в теории циклических точек применяют с большой пользой преобразование

ибо оно переводит, уравнение в уравнение а потому циклические точки превращаются в действительные бесконечно удаленные точки

это — бесконечно удаленные точки обоих направлений, наклоненных к осям под углами 45°. Все окружности переходят, следовательно, в конические сечения, проходящие через обе эти действительные бесконечно удаленные точки, а это просто всевозможные равносторонние гиперболы, асимптоты которых образуют с осями упомянутые углы ±45° (рис. 90). Пользуясь образом этих гипербол, можно себе наглядно уяснить все теоремы об окружностях, что является чрезвычайно удобным и полезным для многих целей, в особенности также и для аналогичных рассуждений в пространстве. В рамках этого, курса мне приходится, однако, ограничиться сделанными замечаниями; более подробное развитие этих идей дают обыкновенно в курсах и книгах по проективной геометрии.

Рис. 90

Возникает вопрос, нельзя ли подойти к этим мнимым точкам, плоскостям, коническим сечениям и т. д. также с чисто геометрической точки зрения, не «выуживая» их насильно — как это мы делали до сих, пор — из формул анализа.

Более старые геометры Понселе, а также Штейнер — не достигли в этом отношении еще ясности; для Штейнера мнимые величины в геометрии все еще являются «привидениями», которые, находясь как бы в высшем мире, обнаруживают себя своими действиями, но о сущности которых мы не можем получить ясного представления. Впервые Штаудт в своих уже названных раньше сочинениях «Геометрия положения» (Нюрнберг, 1846) и «Добавления к геометрии» (Нюрнберг, 1856—1860) полностью разрешил этот вопрос, и его идеями нам следует еще немного заняться. Впрочем, эти книги Штаудта читаются очень трудно, ибо он развивает свои теории дедуктивным путем сразу в их окончательной форме, не ссылаясь на аналитические формулы и не делая индуктивных указаний.

Удобным же для понимания является всегда лишь генетическое изложение, которое следует пути, пройденному предположительно автором при возникновении его идей.

Двум работам Штаудта соответствуют две различные стадии в развитии его теории, к краткому изложению которых я теперь перейду. В работе 1846 г. речь сперва идет только о произвольных образах второго порядка с действительными коэффициентами; я говорю «образах», так как не хочу фиксировать числа их измерений (прямая, плоскость или пространство). Рассмотрим, например, кривую второго порядка на плоскости, т. е. какое-нибудь квадратное уравнение с действительными коэффициентами, однородное относительно трех переменных,

Для аналитического исследования является в таком случае совершенно безразличным, имеет ли вообще это уравнение действительные решения или нет, т. е. имеет ли кривая второго порядка действительную ветвь или же состоит из одних только мнимых точек. Вопрос заключается в том, какие именно наглядные представления чистый геометр должен связывать с подобной кривой в этом последнем случае, как он должен определить такую кривую геометрическими средствами.

Тот же вопрос возникает и в одномерной области, когда речь идет о пересечении кривой с какой-нибудь прямой, например с осью определяемой уравнением тогда точки пересечения — безразлично, будут ли они действительными или мнимыми, — получаются из уравнения с действительными коэффициентами

и вопрос заключается в том, можно ли со случаем комплексных корней связать какое-нибудь геометрическое содержание.