Применение к статике твердых тел.

Теперь я снова перейду к применению этих понятий в механике. Как и на плоскости (с. 40), представителем силы, приложенной к пространственному твердому телу, является линейный элемент, изображающий линию приложения, величину и направление этой силы.

При этом первые три координаты X, Y, Z линейного элемента называются компонентами силы, параллельными координатным осям, а его вторые три координаты моментами вращения вокруг этих осей. Три компоненты X, Y, Z определяют собой, кроме величины, еще и направление силы, или соответственно свободный вектор с направляющими косинусами, относящимися между собой, как это направление изображается диагональю параллелепипеда, ребрами которого являются отрезки X, Y, Z на координатных осях. Таким же самым построением можно посредством трех величин L, М, N тоже получить определенное направление, которое называют направлением оси результирующего момента вращения. Соотношение (3) означает, согласно известной формуле геометрии в пространстве, что направление силы и направление оси результирующего момента вращения взаимно перпендикулярны. Точно так же, как и на плоскости, мы включаем в понятие линейного элемента в качестве «пары сил» тот предельный случай, при котором тогда как L, М, N не обращаются в нуль одновременно, и простой предельный переход показывает, что под парой сил следует понимать бесконечно удаленную бесконечно малую силу, моменты вращения которой остаются конечными. Элементарная теория и в этом случае относится пугливо к таким выражениям — для нее парой сил является совместное действие двух параллельных равных по величине, но противоположно направленных сил, действующих вдоль различных прямых:

Действительно, для суммы этих сил получаются как раз такие координаты:

которые мы только что имели в виду.

Наша очередная задача — сложение системы произвольно заданных сил

приложенных к твердому телу.

Обыкновенно в элементарных книгах и на лекциях на эту задачу затрачивают много времени, тогда как мы здесь сможем решить ее очень быстро благодаря тому, что наши аналитические формулы делают излишним различение разных случаев, неизбежное при тяжеловесном элементарном изложении, не употребляющем пра вила знаков. Основной принцип сложения (сил) заключается в том, что составляют суммы

и рассматривают их как координаты системы сил или как координаты «динамы», пользуясь целесообразным выражением, введенным Плюккером; при этом мы снова различаем три компоненты вдоль осей и три момента вращения около этих осей. Но, вообще говоря, эта динама не представляет собой некоторой силы, ибо рассмотренные шесть сумм не всегда удовлетворяют условию

имеющему место для координат линейного элемента. Тут мы имеем по сравнению с плоскостью то новое, что систему сил, приложенных к твердому телу, не всегда можно свести к одной силе.

Чтобы получить конкретное представление о сущности динамы, попробуем представить ее по возможности ясным способом в виде результирующей как можно меньшего числа сил. Оказывается, что каждую динаму можно рассматривать как результирующую одной силы и пары сил, ось которой параллельна линии, вдоль которой действует первая сила, — гак называемой центральной оси динамы, — причем это сведение (к силе и паре) может быть произведено одним только способом. Классическое изложение этой теории сложения сил, приложенных к твердому телу, имеется в книге «Элементы статики» Пуансо; поэтому говорят также о центральной оси Пуансо.

Впрочем, Пуансо излагает эту теорию очень растянуто, пользуясь методами элементарной геометрии, в том виде, как еще и до сих пор поступают в начальном преподавании.

Для доказательства высказанной теоремы заметим, что всякий раз, когда по выделении (из рассматриваемой динамы) какой-либо пары сил получается одна сила, последняя должна иметь на осях компоненты, равные S, Н, Z; следовательно, чтобы ось пары была параллельна центральной оси, ее моменты вращения должны относиться, как Поэтому ее шестью координатами должны быть числа

где k — параметр, который еще подлежит определению. Присоединяя к этой паре сил динаму

получим исходную динаму В, Н, Z, Л, М, N, и высказанное предложение было бы доказано, если бы удалось так подобрать k, чтобы система величин (А) представляла собой одну силу. Для этого необходимо и достаточно, чтобы эти координаты (А) удовлетворяли условию (3), т. е.

отсюда однозначно следует, что

В самом деле, можно считать, что знаменатель отличен от нуля, ибо в противном случае мы с самого начала имели бы дело не с собственной динамой, а только с парой сил. Таким образом, приписывая параметру k это значение—Плюккер называет его параметром динамы, — мы действительно получаем искомое разложение динамы на требуемые пару сил и одну силу, причем из хода доказательства видно, что это разложение однозначно.

Связь с нулевой системой Мёбиуса. Теперь возникает вопрос о том, с какими геометрическими представлениями можно связать это разложение.

Эти исследования также восходят к Мёбиусу, а именно, к его «Курсу статики». В своем изложении он на первое место ставит вопрос об осях, по отношению к которым динама имеет момент вращения, равный нулю, — о так называемых нулевых осях; систему всех таки нулевых осей он называет нулевой системой. Отсюда и ведет свое происхождение этот, конечно, известный вам термин.

Прежде всего мы должны дать общее определение понятия момента вращения или просто момента, которое будет применяться, начиная с этого места.

Пусть сперва заданы в пространстве два линейных элемента (1, 2) и (1, 2) (рис. 35).

Рис. 35

Будем рассматривать их концы как вершины тетраэдра (1, 2, Г, 2), объем которого равен

Вычисляя этот определитель как сумму произведений миноров первой и последней пары строк (мы это уже делали на с. 51 с определителем, тождественно равным нулю), получаем для этого определителя значение

где - координаты линейного элемента . Входящую сюда билинейную комбинацию координат обоих линейных элементов

будем называть моментом одного линейного элемента по отношению к другому, он равен шестикратному объему тетраэдра, образованного концами обоих линейных элементов, и поэтому является геометрической величиной, не зависящей от системы координат.

Если — длины линейных элементов, — угол между ними и — кратчайшее расстояние (общий перпендикуляр) между их прямыми, то путем элементарных геометрических соображений легко найти, что этот момент равен произведению если только надлежащим образом определить знак числа

Если же вместо линейного элемента задана неограниченная направленная прямая, то под моментом линейного элемента (1, 2) по отношению к ней будем понимать его момент в прежнем смысле, взятый по отношению к линейному элементу длины лежащему на этой прямой, т. е. выражение Оно получается из предыдущего выражения делением его на так что окончательно находим: момент линейного элемента X, Y, Z, L, М, N по отношению к неограниченной прямой, содержащей линейный элемент X, Y, Z, L, М, N, равен

фактически это выражение остается неизменным при сохранении отношений шести величин без изменения их знаков на противоположные, так что его значение вполне определено, если только задана упомянутая неограниченная прямая с определенным направлением на ней. Этот момент линейного элемента является как раз тем, что в статике называют моментом вращения силы, изображаемой этим линейным элементом, вокруг нашей прямой как вокруг оси; причем опять-таки в статике часто употребляют противоположный знак (ср. с. 52).

Перейдем теперь к моменту, или моменту вращения (относительно той же направленной прямой) системы сил, т. е. динамы

Представляется естественным понимать под ним сумму моментов отдельных сил, т. е. выражение

При последовательном отождествлении неограниченной прямой с тремя положительными осями это выражение принимает значения , чем и оправдываются введенные раньше названия для этих величин.

Теперь мы можем заняться тем вопросом, который ставит перед собой Мёбиус. Заданная динама Е, Н, N имеет по отношению к прямой момент 0 (так что последняя является нуле вой осью) в том и только в том случае, если числитель последнего выражения равен нулю:

Следовательно, нулевая система динамы представляет собой совокупность всех прямых удовлетворяющих этому уравнению. Но это последнее является наиболее общим линейным однородным уравнением относительно шести величин ибо коэффициенты как координаты динамы, могут иметь произвольные значения. Совокупности прямых, определяемых произвольным линейным однородным уравнением, исследовал Плюккер — такой же, как Мёбиус, пионер в аналитической геометрии XIX столетия — под названием линейных комплексов в связи с вопросами, на которых нам впоследствии еще придется останавливаться подробнее. Таким образом, мёбиусова нулевая система — то же самое, что и плюккеров линейный комплекс.