2. Касательные преобразования

Эти преобразования, названные так Софусом Ли, получаются, если вместо билинейного уравнения (4а) положить в основу какое-либо уравнение более высокой степени относительно четырех точек на обеих плоскостях:

удовлетворяющее, конечно, необходимым условием непрерывности; это уравнение называют, согласно Плюккеру, направляющим уравнением. Для плоскости все относящееся сюда имеется уже в упомянутом выше произведении Плюккера (с. 259-265). Если фиксировать сначала х, у, т. е. рассматривать определенную точку на плоскости Е (рис. 79), то уравнение рассматриваемое как уравнение для текущих координат х, у, изображает некоторую определенную кривую С на плоскости эту кривую мы ставим в соответствие точке Р как новый элемент плоскости Е (прежде таким элементом была прямая).

Рис. 79

Если же теперь фиксировать какую-нибудь точку на плоскости Е, например какую-нибудь точку кривой С, то это же уравнение в котором мы теперь придаем постоянные значения второй паре переменных считаем текущими координатами, определяет некоторую кривую С на Е, и эта кривая должна, конечно, пройти через первоначальную точку Р.

Этим мы устанавливаем соответствие между точками Р плоскости Е и -двукратной бесконечностью) кривых на плоскости Е, а также соответствие между точками Р на плоскости Е и кривых С на плоскости Е совершенно аналогично прежнему соответствию между точками и прямыми.

Если теперь точка Р будет двигаться по плоскости Е, описывая произвольную (обозначенную на рис. 79 пунктиром) кривую К, то каждому отдельному положению точки Р будет соответствовать определенная кривая С на плоскости Е. Но, чтобы из этого однократно бесконечного семейства кривых С получить на Е только одну определенную кривую, которую мы будем считать соответствующей кривой К на Е, мы перенесем на рассматриваемый здесь случай общий «принцип огибающей», уже примененный нами при двойственном соответствии: кривой К мы относим ту кривую К на плоскости Е, которая огибает все кривые С, соответствующие на основании уравнения отдельным точкам кривой Таким образом, мы действительно получили из направляющего уравнения такое соответствие между плоскостями, при котором каждой кривой одной плоскости соответствует определенная кривая другой, ибо можно провести такие же точно рассуждения, исходя, наоборот, из произвольной кривой К на плоскости Е.

Чтобы представить эти рассуждения в аналитической форме, заменим мысленно кривую К многоугольником с очень маленькими прямолинейными сторонами — как это для наглядности охотно делают в дифференциальном исчислении — и спросим себя, что будет соответствовать одной отдельно взятой стороне многоугольника. При этом, конечно, следует всегда иметь в виду предельный переход к кривой, так что в пределе под стороной многоугольника следует понимать не что иное, как совокупность точки Р и направления касательной к кривой К в этой точке — так называемый линейный элемент.

Сдвинемся в этом направлении от точки Р, в результате чего получим некоторую точку (рис. 80) с координатами где произвольно малы и в пределе стремятся к нулю, а все время имеет определенное значение , характеризующее заданное направление.

Точке Р соответствует на плоскости Е кривая С, уравнение которой относительно текущих координат у имеет вид

а точке — кривая с уравнением

Разлагая левую часть последнего уравнения по степеням и принимая во внимание ввиду окончательного предельного перехода только линейные члены, получаем для уравнение

Из обоих этих уравнений (для С и СО получаются координаты у точки пересечения Р кривых С и которая в пределе обращается в точку касания кривой С с огибающей эти уравнения, поскольку можно также заменить уравнениями

Рис. 80

Но кривые С и имеют в точке Р в пределе общее направление касательной которое одновременно является также и направлением огибающей К в точке Р. Поскольку же является уравнением кривой С с текущими координатами х, у, то это направление касательной определяется из уравнения

или

Если, следовательно, из всей кривой К известна одна только ее точка Р и направление касательной в ней, то этим самым определена точка Р соответствующей кривой К вместе с направлением последней в этой точке. Говорят поэтому, что наше преобразование относит в силу уравнений (2), (3) каждому линейному элементу кривой на плоскости Е определенный линейный элемент на плоскости Е.

Применяя это рассуждение к каждой стороне аппроксимирующего кривую многоугольника и соответственно к каждому ее линейному элементу, получим на плоскости Е стороны многоугольника, аппроксимирующего соответствующую кривую К и соответственно линейные элементы этой кривой. Поэтому уравнения (2), решенные относительно х, у, представляют аналитически кривую К, если только пробегают значения координат и направления касательной во всех точках кривой К (рис. 81).

Рис. 81

Теперь становится также ясным, почему Ли назвал эти преобразования «касательными». А именно, если две кривые на плоскости Е касаются одна другой, то это означает не что иное, как то, что они имеют общий линейный элемент; но тогда и соответствующие им кривые на плоскости Е также должны иметь общий линейный элемент, т. е. общую точку с общим направлением в ней. Касание двух кривых является, следовательно, свойством, инвариантным при этом преобразовании, на что и должно указывать его название. Ли развил учение об этих касательных преобразованиях существенно дальше, обобщив его для случая пространства; он предпринял в 1896 г. совместно с Шефферсом систематическое изложение этого учения в «Геометрии касательных преобразований», но, к сожалению, подвинулся ненамного дальше первого тома.

После этого краткого изложения теории преобразований с заменой пространственного элемента я хочу оживить эту теорию хотя бы несколькими наглядными примерами, чтобы показать, какое значение эти вещи могут иметь в прикладных науках.