Мнимые циклические точки и мнимая окружность сфер.

Введем теперь в пространстве однородные координаты и будем им придавать произвольные комплексные значения, выключая снова систему Совокупность решений одного линейного или соответственно квадратного однородного уравнения относительно этих четырех переменных назовем тогда поверхностью первого порядка (плоскостью) или соответственно поверхностью второго порядка. Тогда опять-таки, если отбросить тривиальные исключения, имеет, вообще говоря, место теорема о том, что поверхность второго порядка пересекается с плоскостью по кривой второго порядка и что две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка, которая в свою очередь имеет со всякой плоскостью четыре общих точки. При этом ничего не говорится о том, имеют ли эти кривые пересечения действительные ветви или нет, лежат ли они в конечном расстоянии или в бесконечности.

И вот уже в 1822 г. Понселе в своем упомянутом выше трактате «О проективных свойствах фигур» применил эти понятия к окружностям и сферам; правда, он не пользовался однородными координатами и обусловленными ими точными аналитическими формулировками, а следовал больше своему сильному чувству геометрической непрерывности. Для ознакомления с его замечательными результатами в точной форме будем исходить из уравнения окружности

которое запишем в однородных координатах:

Пересечение этой окружности с бесконечно удаленной прямой определяется, следовательно, уравнениями

В этих уравнениях отсутствуют константы , характеризующие первоначально заданную окружность. Следовательно, любая окружность пересекается с бесконечно удаленной прямой в одних и тех же двух постоянных точках

которые кратко называют (мнимыми) круговыми или циклическими точками. Совершенно таким же образом выводят, что в пространстве все сферы пересекают бесконечно удаленную плоскость по одному и тому же мнимому коническому сечению

которое называют также просто (мнимой) окружностью сфер.

Однако имеет место также: и обратная теорема: всякая кривая второго порядка, проходящая через обе циклические точки бесконечно удаленной прямой в ее плоскости, есть окружность, и всякая поверхность второго порядка, пересекающая бесконечно удаленную плоскость по мнимой окружности сфер, есть сфера, так что здесь мы имеем дело с характеристическими свойствами окружности и сферы.

Я намеренно не сказал: «бесконечно удаленные» циклические точки и «бесконечно удаленная» мнимая окружность, как это часто делают. А именно, расстояние от циклических точек до начала координат не является определенно бесконечным, как это могло бы казаться на первый взгляд, но имеет форму и в силу этого оказывается неопределенным; меняя характер предельного перехода к циклическим точкам, этому расстоянию можно придать произвольное (наперед заданное) значение.

Точно так же является неопределенным расстояние от циклических точек и до всякой (другой) конечной точки; то же самое имеет место для расстояния от любой точки мнимой окружности сфер (принадлежащей бесконечно удаленной плоскости) до любой конечной точки пространства. Этому нисколько не приходится удивляться, ибо мы ведь одновременно требовали от циклических точек, чтобы они находились на расстоянии от некоторой конечной точки (лежали на круге радиуса с центром в этой точке, где может принимать произвольно заданное значение) и были также бесконечно удалены от этой последней; это кажущееся противоречие наша аналитическая формула может уничтожить лишь тем, что она приводит к полученной выше неопределенности. Эти простые вещи следует себе раз навсегда вполне уяснить, тем более, что о них часто говорят и пишут много неправильного.

Циклические точки и окружность сфер дают возможность в очень красивой форме включить теорию окружностей и сфер в общую теорию геометрических образов второго порядка, тогда как при элементарном изложении получается ряд кажущихся расхождений. Так, в элементарной аналитической геометрии всегда говорят только о двух точках пересечения двух окружностей, так как исключение одного неизвестного из их уравнений приводит лишь к квадратному уравнению. С нашей же точки зрения, всякие две окружности имеют общими еще и лежащие на бесконечно удаленной прямой обе циклические точки, которых не принимает во внимание элементарное изложение; таким образом мы действительно приходим к четырем точкам пересечения, требуемым упомянутой общей теоремой о двух кривых второго порядка.

Совершенно аналогично этому всегда говорят в первую очередь только об одной окружности, по которой пересекаются две сферы и которая может быть как действительной, так и мнимой; теперь, однако, мы знаем, что в бесконечно удаленной плоскости все сферы имеют, кроме того, общую мнимую окружность и что она дополняет первую конечную окружность до той пространственной кривой четвертого порядка, каковой должна быть линия пересечения согласно нашей общей теореме.