Обоснование геометрии у Евклида.

После приведенного общего обзора содержания «Начал» займемся, согласно нашему первоначальному намерению, более близким рассмотрением тех глав Евклида, которые трактуют об основаниях геометрии. Совершенно очевидно, что идеальной целью, манившей Евклида, был свободный от пробелов чисто логический вывод всех геометрических теорем из наперед указываемых посылок. В создании (либо в передаче) этого идеала заключается, без сомнения, ядро исторического значения «Начал». Но в действительности Евклиду никоим образом не удалось достигнуть этой высокой цели, и как раз в исследованиях, относящихся к основаниям геометрии, современная наука достигла существенно более глубокого понимания и вскрыла неясности, имевшиеся у Евклида. Однако — такова сила традиций! — еще и теперь изложение Евклида многие считают, в особенности в Англии, непревзойденным образцом обоснования геометрии. Смешивают историческое значение творения с его абсолютным, всегда сохраняющимся значением; поэтому будет только естественным, если в противовес подобной переоценке «Начал» Евклида я в последующей критике особенно подчеркну отрицательные стороны, те места, где изложение Евклида более не в состоянии удовлетворить нашим требованиям.

Конечно, всякая подобная критика Евклида сопряжена с особой трудностью, происходящей от неуверенности в достоверности текста. Многое основано на свидетельствах уже упоминавшегося Прокла, и это еще самый древний источник, а самые старые списки, которыми мы сегодня обладаем, написаны в IX в. н. э., т. е. они на 1200 лет моложе Евклида! К тому же они чрезвычайно отличаются друг от друга и притом часто как раз в тех местах принципиального значения, которые для нас здесь особенно важны. К этому присоединяется еще традиция латинских и арабских переводчиков и комментаторов, у которых всегда имеются значительные отклонения, вызванные желанием разъяснить текст. Таким образом, установление как можно более надежного текста «Начал» является крайне сложной филологической проблемой, на которую действительно затрачено невероятно много проницательности. Необходимо только отдавать себе ясный отчет в том, что в результате подобной филологической работы может получиться в лучшем случае вероятнейший текст, который, разумеется, может и не совпадать с действительным оригинальным текстом, ибо нет никакой неизбежности в том, чтобы то, что мы на основе многих показаний получаем как нечто наиболее вероятное, совпало во всех пунктах с действительностью. По общему мнению на наибольшей высоте современной филологической науки стоит текст Гейберга, и лучшее, что мы, нефилологи, можем сделать, — это положить его в основу нашего изложения, хотя мы в согласии со сказанным выше никогда не должны забывать, что этот текст отнюдь не должен быть тождественным с первоначальным. Поэтому, если в названном тексте окажутся недостатки и противоречия, то всякий раз будет оставаться под сомнением, виноват ли в них сам Евклид или же они проскользнули только благодаря позднейшей передаче.

Начало первой книги. Приступая к намеченному исследованию, рассмотрим прежде всего, какую форму принимает обоснование геометрии в 1-й книге «Начал».

Евклид начинает эту книгу с трех групп предложений, которые он называет epoi, саттцлата, Hoivat evvoiai, что может быть примерно передано словами определения, постулаты (требования) и принципы (общие понятия). Однако для последней группы обыкновенно употребляют, следуя Проклу, термин «аксиомы», который, впрочем, теперь, как известно, получил более широкое значение, включающее в себя также и постулаты.

Чтобы прежде всего понять содержание определений, вспомним, как мы поступали раньше при обосновании геометрии. Мы говорили тогда, что мы не в состоянии дать определение некоторых вещей, каковы точки, прямые, плоскости, а должны допустить их как знакомые всякому человеку основные понятия и должны только четко высказать те их свойства, которые мы желаем использовать; после этого мы могли приступить к построению геометрии вплоть до координатной системы , используемой в аналитической геометрии. Только после этого мы установили общее понятие кривой, положив равными непрерывным функциям параметра t. При случае я указывал, что это понятие охватывает также и такие удивительнейшие «монстры», как, например, кривые, которые сплошь покрывают некоторую площадь, и т. п.

Евклиду чуждо такое осторожное или самоограничительное понимание вещей. Он начинает с «определения» (или «объяснения») всевозможных геометрических понятий, каковыми являются точка, линия, прямая, поверхность, плоскость, угол, окружность и т. д. Первое «определение» гласит: точка есть то, что не имеет частей (буквально: «то, чего часть есть ничто»). Но мы едва ли можем признать это за определение в собственном смысле слова, так как точка ни в коем случае не может быть определена только этим свойством. Далее, читаем: линия есть длина без ширины. Здесь представляется сомнительной даже самая правильность утверждения, если мы признаем только что указанное общее понятие кривой, о котором Евклид, конечно, еще ничего не знал.

В-третьих, дается определение прямой как такой линии, которая одинаково (равномерно) расположена относительно своих точек. Смысл этого предложения совершенно темен, и под ним можно разуметь все, что угодно. Оно могло бы означать, что прямая всюду имеет одинаковое направление, и тогда нужно было бы признать направление за основное понятие, привычное для каждого человека. Но мы можем его понимать также и в том смысле, что прямая, если представить ее себе реализованной в виде твердого стержня, при определенных движениях пространства всегда совпадает сама с собой, а именно, при поворотах около нее же самой как около оси, и при таком понимании евклидова определения пришлось бы, конечно, снова предполагать известным понятие движения. Допускает ли это Евклид, является очень спорным вопросом, на котором мы еще остановимся подробнее. Во всяком случае, не удалось найти однозначной интерпретации для данного Евклидом определения прямой, как и для многих из дальнейших его определений, на отдельном рассмотрении которых я не буду здесь больше останавливаться.

Мы переходим теперь к постулатам, которых в издании Гейберга имеется пять. Они требуют, чтобы было возможно:

a) провести прямую от любой точки до любой другой точки;

b) неограниченно продолжить ограниченную прямую;

c) описать из данного центра окружность, которая прошла бы через данную точку.

Четвертый постулат я оставляю пока в стороне, а приведу сразу же пятый, так называемый постулат о параллельных линиях:

е) если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с этой стороны (рис. 126).

Эти постулаты выражают выполнимость известных построений или существование геометрических образов, которыми Евклид действительно пользуется в своем дальнейшем изложении. Однако в геометрии имеется еще целый ряд подобных постулатов существования, которые из названных не вытекают чисто логически, но которыми Евклид также пользуется.

Для примера укажу лишь такое предложение: два круга, каждый из которых проходит через центр другого, пересекаются (рис. 127). Я мог бы привести еще целый ряд подобных же предложений. Поэтому мы должны во всяком случае признать систему постулатов Евклида неполной.

Рис. 126

Рис. 127

Теперь приведем четвертый постулат.

d) все прямые углы равны между собой.

Много спорили о том, как следует понимать этот постулат и как он вообще попал сюда. Это связано с весьма важным вопросом о том, пользуется ли Евклид понятием движения или нет. Если последовательно исходить из понятия движения фигур как твердых тел — так мы поступали при нашем первом построении геометрии, — то этот постулат оказывается (ср. с. 259) необходимым логическим следствием; следовательно, этот постулат был бы, если только Евклид стоял на такой точке зрения, здесь совершенно не нужен. Но ни в одном из всех других основных положений Евклида не говорится явно о движении, так что многие толкователи считают, что этот четвертый постулат как раз и должен служить для введения идеи движения, но уже во всяком случае, как пришлось бы тогда признать, в весьма несовершенной форме.

В противоположность этому большинство комментаторов Евклида полагает, что вследствие известных философских соображений одно из наиболее существенных стремлений Евклида как раз и было направлено на принципиальное устранение из геометрии понятия движения. Но тогда исходным пунктом должно было бы служить абстрактное понятие конгруэнтности, как в нашем втором построении, и тогда снова этот четвертый постулат должен был бы считаться основой для учения о конгруэнтности.

При этом, конечно, возникает вопрос, почему не сделано аналогичных указаний также и относительно конгруэнтности отрезков. Но мы сейчас же увидим, какие существенные трудности возникают в случае как одной, так и другой точки зрения в дальнейшем изложении Евклида.

Остается еще заметить, что ни то, ни другое толкование не объясняет по-настоящему, почему это предложение помещено именно среди постулатов (с их общей тенденцией, охарактеризованной выше). Это побудило Цейтена к такой интересной попытке объяснения, которое, однако, не вполне убедительно: рассматриваемый постулат должен выражать, что то продолжение отрезка за один из его концов, которое вообще возможно согласно постулату b), определяется однозначным образом. Подробности вы можете найти в упомянутой книге Цейтена «История математики в древности и в средние века». Наконец, остается, как всегда, тот выход из затруднения, что здесь признают наличие искажения текста. Многие, действительно, так и думают, и против этого нечего возразить.

Обращаюсь, наконец, к аксиомам, которых у Гейберга насчитывают тоже пять:

a) равные одному и тому же третьему равны также и между собой; если то ;

b) если к равным прибавляются равные, то и целые равны: если то

c) если от равных отнимаются равные, то остатки равны: если то

налагающиеся друг на друга равны;

е) целое больше части: .

Четыре из этих аксиом имеют логическую природу, и в данном случае они должны, очевидно, констатировать то, что выражаемые ими общие отношения имеют место также и для всех рассматриваемых геометрических величин (отрезков, углов, площадей и т. д.). Четвертая же аксиома говорит о том, что в конечном счете решающим моментом для равенства или неравенства является конгруэнтность или совпадение при наложении, хотя опять-таки остается, конечно, неясным, предполагается ли здесь идея движения или нет.

Что же касается различия между аксиомами и постулатами, то Симон формулировал его в том смысле, что первые связаны с простейшими фактами логики, а вторые — с простейшими фактами пространственной интуиции. Это было бы очень удачным и вразумительным решением вопроса, если бы только мы были убеждены в том, что расположение текста у Гейберга в точности соответствует оригиналу. Но в действительности в рукописях встречаются существенные уклонения в расположении и в содержании постулатов и аксиом, которые никак не укладываются в схему Симона; в частности, например, постулат параллельности часто фигурирует в качестве 11-й аксиомы.

Теперь мы рассмотрим подробнее начало евклидова построения геометрии, которое зиждется на этих определениях, постулатах и аксиомах, а именно, первые четыре параграфа, которые следуют за аксиомами. При этом мы сможем одновременно сделать интересные наблюдения относительно понимания Евклидом основ, в частности по вопросу о его отношении к идее движения.

Первые три параграфа имеют целью решение задачи: отложить данный отрезок АВ на другом отрезке CF, начиная от точки С (рис. 128).

Рис. 128

Каждый человек выполнит это на практике, конечно, путём непосредственного переноса с помощью циркуля или полоски бумаги, т. е. с помощью перемещения твердого тела в плоскости. Не так смотрит на дело Евклид в своих теоретических рассуждениях. Дело в том, что в своих постулатах он не предполагает построения, которое соответствовало бы такому свободно перемещаемому циркулю, а его постулат с) (с. 302) позволяет только в том случае описать около заданной точки окружность, если уже дана какая-нибудь одна ее точка. И вот, желая применять только те возможности, которые обеспечиваются его постулатами, он должен такое представляющееся весьма простым построение разбить на ряд более сложных, но во всяком случае в высшей степени остроумных шагов.

1. Построить на данном отрезке АВ равносторонний треугольник (рис. 129). Согласно постулату с) можно из точки А описать окружность радиусом АВ, а из В — радиусом В А. То, что эти окружности пересекутся в некоторой точке С, принимается, конечно, как мы уже упоминали, без дальнейших разъяснений.

Рис. 129

Рис. 130

А теперь следует строгое формально логическое (с использованием аксиом) доказательство того, что ABC представляет собой, действительно, равносторонний треугольник.

2. Отложить от данной точки С какой-нибудь отрезок, равный данному отрезку АВ (рис. 130). Согласно шагу 1 строим на АС равносторонний треугольник ACD. Затем продолжаем DA за точку А (постулат ) и описываем из А окружность радиусом АВ (постулат ) до пересечения в точке В с DA (существование этой точки пересечения и на этот раз особо не оговаривается). Наконец, описываем из точки D окружность радиуса DB до пересечения ее с продолжением DC в точке тогда Доказательство этого вывода, ход которого легко себе представить, проводится снова вполне строго.

3. Даны два отрезка АВ, CF, причем (рис. 130); отложить на CF от точки С отрезок, равный АВ. Строим, следуя шагу 2, от С какой-нибудь отрезок и проводим из С окружность радиуса СЕ, которая пересечет CF. в точке G; CG, и есть искомый отрезок.

Этим решена упомянутая задача. После этого Евклид дает под № 4 первую теорему о конгруэнтности. Если у двух треугольников ABC и АВС имеется по две соответственно равные стороны АВ, и по равному заключенному между ними углу ), то попарно равны и все другие соответственные элементы (рис. 131).

Рис. 131

При доказательстве этого предложения Евклид впадает по сравнению с предыдущим построением в ту удивительную непоследовательность, из-за которой я и воспроизвожу здесь все эти рассуждения. Он представляет себе треугольник АВС наложенным таким образом на ABC, что стороны АВ, АС и угол А совпадают соответственно со сторонами АВ, АС и углом А. Хотя мы только что и научились очень точно откладыванию одного какого-нибудь отрезка на другом, но об откладывании углов еще не было речи и еще менее было сказано что-либо о том, что станется при подобном процессе перенесения с третьей стороною ВС, — останется ли она, например, вообще при этом прямолинейной. Интуитивно это, конечно, ясно, но ведь вся цель Евклида как раз и заключается всегда в логической полноте дедукции. Однако он без каких-либо более детальных рассуждений заключает, что прямая ВС при описанном накладывании тоже должна перейти в прямую, которая в таком случае должна, конечно, совпасть с ВС. Но это значит предполагать решительным образом существование движений, которые не изменяют ни формы, ни размеров геометрических фигур, как мы поступали при нашем первом построении геометрии; тогда, в самом деле, становится очевидным, что первое предложение о конгруэнтности является доказуемым.

Таким образом, это доказательство Евклида, казалось бы, говорит вполне определенно за то, что он был приверженцем идеи движения.

Но тогда возникает вопрос, почему об этом ничего не говорится в аксиомах и уже тогда во всяком случае было бы совершенно бесцельным его крайне искусственное решение задач 2 и 3, так как, пользуясь идеей движения, их можно решить в двух словах. Если же рассматривать № 4 как позднейшую вставку, то остается открытым вопрос, как относился сам Евклид к первому предложению о конгруэнтности, и вместе с тем остается существенный пробел в его построениях; без понятия движения доказать это предложение невозможно, и его приходится, как это мы сделали в нашем втором построении геометрии(с. 268-269), включить в число аксиом. Во всяком случае, заканчивая эти наши замечания, мы можем только сказать, что как раз в первых предложениях первой книги «Начал» возникает так много внутренних трудностей, что о достижении идеала, как мы его наметили выше, совершенно не может быть речи.