IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ИЗМЕНЕНИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЭЛЕМЕНТА

1. Двойственные преобразования

Первый такой класс состоит из тех соответствий, которые в двумерной области переводят точку в прямую и наоборот, а в трехмерной обменивают точку с плоскостью. Я ограничиваюсь здесь первым случаем плоскостью), а во всем остальном следую тому ходу идей, который впервые был употреблен в 1831 г. во второй части его уже упомянутой выше работы.

При этом исходной точкой является аналитическая формулировка.

Первая идея Плюккера заключается, как мы уже знаем (с. 92), в том, чтобы провести полную параллель между константами и, v, входящими в уравнение прямой

и рассматриваемыми в качестве «координат прямой», и между обыкновенными (декартовыми) координатами точки, а затем построить здание аналитической геометрии двумя совершенно аналогичными «взаимными» или «дуальными» способами, пользуясь этими двумя видами координат. Так, на плоскости соответствуют одна другой кривая, изображаемая в координатах точки уравнением как геометрическое место точек, удовлетворяющих этому уравнению, и кривая, определяемая в координатах прямой уравнением как огибающая однократно бесконечного семейства прямых.

Преобразование в собственном смысле, которое мы хотим теперь рассмотреть, получается, конечно, лишь тогда, когда мы наряду с рассматривавшейся до сих пор одной плоскостью Е введем еще вторую плоскость Е и свяжем координаты и, и прямой на Е с координатами х, у точки на Е. Самое общее преобразование такого типа должно быть, следовательно, задано двумя уравнениями

т. е. с каждой точкой х, у на плоскости Е сопоставляется та прямая на плоскости Е, уравнение которой получается после подстановки в (1) этих значений (2) для u и v.

1) Рассмотрим сначала простейший пример такого преобразования, а именно преобразование, определяемое уравнениями

это преобразование просто относит каждой точке х, у плоскости Е прямую

на плоскости Е.

Известно, что это как раз та прямая, которая является полярой точки х, у (мы предполагаем теперь, что плоскости Е, Е наложены одна на другую так, что их координатные оси совпадают) по отношению к окружности радиуса единица с центром в начале координат; наше преобразование является, следовательно, известным полярным соответствием по отношению к окружности (рис. 78).

Рис. 78

Мы замечаем, что для определения этого соответствия достаточно вместо обоих уравнений (3) взять одно лишь уравнение (За), ибо это последнее представляет собой уравнение прямой, соответствующей произвольно взятой точке х, у. Поскольку уравнение (За) совершенно симметрично относительно х, у, с одной стороны, и х, у — с другой, то обе плоскости Е, Е должны по отношению к нашему преобразованию играть одинаковую роль, т. е. каждой точке на плоскости Е тоже должна соответствовать некоторая прямая на плоскости Е, и в случае взаимного наложения этих плоскостей одной и той же точке должна соответствовать одна и та же прямая независимо от того, считаем ли эту точку принадлежащей плоскости Е или Е. Ввиду первого свойства это преобразование в более узком смысле называют двойственным или дуальным, ввиду же второго — взаимным. Можно, следовательно, не различая обеих плоскостей, просто говорить о сопоставлении со всяким полюсом определенной поляры и выразить тогда свойство взаимности уже указанным раньше (с. 90) образом.

По поводу дальнейших свойств этого преобразования замечу, что с кривой, пробегаемой на плоскости Е точкой х, у, мы будем сопоставлять, согласно принципу двойственности, как соответствующий образ кривую на плоскости Е, огибающую соответствующие прямые u, v.

2) Совершенно аналогично нашим прежним разъяснением о наиболее общих «коллинеациях» можно легко доказать, что самое общее двойственное соответствие получается, если, обобщая уравнения (3), положить u, v равными общим дробно-линейным функциям от х, у с одинаковым знаменателем:

Вводя эти выражения для u и v в уравнение (1) и умножая обе его части на общий знаменатель, получаем, в силу произвольности девяти коэффициентов наиболее общее уравнение

линейное как относительно х, у, так и относительно х, у.

Но и, обратно, каждое такое уравнение, «билинейное» относительно х, у и х, у, представляет собой некоторое двойственное соответствие между плоскостями Е, Е, ибо, коль скоро одна из этих пар координат фиксирована, т. е. коль скоро рассматривается фиксированная точка на одной из плоскостей, левая часть указанного уравнения является линейной функцией остальных двух координат, так что уравнение изображает некоторую прямую на другой плоскости, сопряженную с этой фиксированной точкой в первой плоскости.

3) Но это соответствие в общем случае не является уже взаимным в определенном выше смысле, а именно, взаимным оно будет только в том случае, если в уравнениях (4а) каждые два симметричных члена имеют одинаковые коэффициенты, т. е. если это уравнение имеет вид

Определенное таким образом преобразование опять-таки хорошо известно из учения о конических сечениях; оно выражает соответствие между полюсом и полярою по отношению к коническому сечению

Всякое такое полярное соответствие является двойственным и взаимным,

Вслед за изложенным можно непосредственно перейти к рассмотрению одного существенно более общего класса преобразований с переменой элемента пространства, а именно, класса преобразований касания, или «касательных» преобразований.