Интерпретация теории инвариантов в проективной геометрии пространства Rn-1.

Наряду с этим (я бы сказал наивным) истолкованием теории инвариантов в геометрии -мерного пространства, в котором переменных играют роль обыкновенных прямоугольных координат, рассмотрению подлежит еще одна существенно иная интерпретация: все эти переменные можно также рассматривать (при как однородные координаты в -мерном пространстве неоднородные координаты которого равны при этом множитель, общий этим координатам, не имеет существенного значения. Мы раньше уже выяснили (с. 134-136) взаимосвязь этих координат пространств мы рассматривали как (-мерную плоскость пространства и проектировали ее точки прямыми, исходящими из начала координат этого пространства

Тогда все возможные системы значений однородных координат любой точки из оказывались тождественными с координатами всех соответствующих ей (т. е. лежащих на одной с нею прямой) точек в а все линейные подстановки однородных координат в изображают проективные преобразования, причем все подстановки, различающиеся только произвольным множителем ,

дают одно и то же проективное преобразование. Поэтому фигурирующая здесь группа всех проективных преобразований содержит не а только произвольных постоянных-, в этими числами будут, в частности, 8 и соответственно 15.

Желая дать геометрическое истолкование теории инвариантов переменных в проективной геометрии пространства мы должны прежде всего принять во внимание, что как раз ввиду применения однородных координат только те величины и соотношения теории инвариантов могут иметь значение, которые оказываются однородными и притом нулевого порядка в координатах каждой отдельной используемой точки и которые обладают тем же свойством также и по отношению к каждой отдельной могущей появиться системе коэффициентов какой-либо линейной, квадратичной и т. д. формы.

Это станет всего яснее, если я сразу же перейду к конкретным примерам. Достаточно будет говорить о бинарной области Имеем, таким образом, две переменных и интерпретируем как абсциссу на прямой. Если дан ряд систем значений то мы знаем, что определители

составляют полную систему основных инвариантов. Какие же из утверждений об инвариантах имеют значение в проективной геометрии?

Уже во всяком случае не утверждение, что некоторый определитель А, имеет то или иное определенное числовое значение, так как при умножении координат на множитель , отчего точка i не меняется, определитель умножается на . Но обращение в нуль одного из определителей , т. е. соотношение конечно, имеет проективно-геометрический смысл, ибо его можно записать в виде пропорции так что, действительно, в это соотношение входят только отношения координат обеих точек, и геометрическое значение этого соотношения — совпадение точек i и k — является очевидным.

Но чтобы получить числовой инвариант, который сам имеет нулевое измерение относительно координат каждой точки, надо скомбинировать более двух точек. Путем различных проб находим, что для этого требуется самое меньшее четыре точки 1, 2, 3, 4, а именно, в таком случае каждое частное вида

оказывается однородным нулевого измерения относительно каждой из четырех пар переменных . Из этого в то же время следует, что это частное имеет вес нуль, т. е. представляет собой абсолютный инвариант. Эта величина имеет поэтому проективный смысл и представляет собой числовое значение, инвариантное по отношению ко всем проективным преобразованиям прямой. Разумеется, эта величина является не чем иным, как двойным (или ангармоническим) отношением четырех точек, написанных в определенной последовательности, ибо ее можно сразу же записать в неоднородных координатах в следующем виде:

Таким образом двойное отношение четырех точек получается здесь с точки зрения теории инвариантов неизбежным образом как простейший инвариант ряда точек на прямой, удовлетворяющий условию однородности, необходимому для того, чтобы иметь проективно-геометрический смысл.

Я хотел бы в связи с этим высказать одно замечание общего характера. Я уже раньше отметил часто встречающееся в проективной геометрии стремление сводить все попадающиеся величины инвариантного характера к двойным отношениям. Достигнутые нами результаты дают нам основание утверждать, что это стремление лишь затрудняет приобретение более глубокого понимания строения проективной геометрии. Гораздо лучше, если сначала ищут все вообще рациональные целые (относительные) инварианты и уже из них образуют рациональные инварианты, в частности абсолютные, а среди последних в свою очередь удовлетворяющие условию однородности проективной геометрии. Здесь мы имеем перед собой действительную систематику, восходящую от самого простого к более сложному, которая затушевывается, если выдвигать на первое место специальный частный случай рационального инварианта — двойное отношение — и пытаться представить другие инварианты исключительно с его помощью.

Посмотрим теперь, к каким именно теоремам проективной геометрии приводят сизигии между инвариантами Снова берем за исходный пункт фундаментальную сизигию

делим ее на последнее слагаемое левой части и, принимая во внимание, что , находим

Здесь слева стоит согласно первоначальному определению двойное отношение точек 1, 2, 3, 4, а справа точно таким же образом составленное двойное отношение этих же четырех точек, но с изменением их порядка: с переменой мест точек 2 и двойные отношения, соответствующие иному порядку точек, можно получить путем деления сизигии и на другие члены. Таким образом, фундаментальные сигизии между инвариантами, относящимися к любым четырем точкам, получают свое геометрическое истолкование в известных соотношениях между теми шестью значениями, которые может принимать двойное отношение этих четырех точек в зависимости от порядка их следования.

Я не намерен здесь говорить ни о том, какую форму принимает дальнейшее построение проективной геометрии прямой на этой основе, ни об интерпретации тернарной и кватернарной теории инвариантов в проективной геометрии плоскости и пространства; детальное изложение этого вы найдете в подробных курсах проективной геометрии.

Таким образом, возникает систематика проективной геометрии, внутренне полная как относительно величин, которые можно в ней рассматривать (которые соответствуют инвариантам), так и относительно теорем, которые можно установить (соответственно сизигиям). Конечно, с точки зрения специалиста по теории инвариантов это толкование представляется менее удовлетворительным, чем для геометра; для первого данное в начале толкование в аффинной геометрии пространства более ценно, так как в имеют значение только те инварианты и сизигии, которые удовлетворяют упомянутому условию однородности.

Я хочу еще изложить более подробно только один особенно важный момент, чтобы затем снова вернуться к прерванному ранее (с. 207-209) ходу мыслей, а именно, я хотел бы показать, какой вид принимает благодаря применению теории инвариантов включение аффинной и метрической геометрии в схему проективной геометрии, ставшее возможным благодаря принципу Кэли.