Теория групп как основа геометрического классификационного принципа.

Намеченную таким образом схему мы теперь очертим еще четче, вводя основное для нас понятие группы. Некоторую совокупность преобразований мы называем (как уже раньше было объяснено) группой в том случае, если сложение (т. е. композиция — результат последовательного выполнения) любых двух из этих преобразований в результате снова дает некоторое преобразование, которое принадлежит той же совокупности, и если, кроме того, преобразование, обратное по отношению к любому из этих преобразований, также принадлежит той же совокупности. Примером группы является совокупность движений, а также совокупность коллинеаций (проективных преобразований), ибо композиция двух движений снова есть некоторое движение, а две коллинеации равносильны некоторой одной; кроме того, в обоих случаях для каждого преобразования существует ему обратное.

Оглядываясь теперь на наши различные виды геометрий, мы видим, что преобразования, связанные с каждой из них, каждый раз образуют группу. Прежде всего, все линейные подстановки, при которых остаются без изменений соотношения метрической геометрии (параллельные переносы, повороты, зеркальные отражения и гомотетии), составляют группу, которой дают название главной группы пространственных преобразований. Столь же легко можно убедиться в аналогичном значении аффинной группы (состоящей из всех аффинных преобразований) для аффинной геометрии и проективной группы (всех коллинеаций) для проективной геометрии. Теоремы геометрии обратных радиусов остаются в силе при всех преобразованиях, получаемых композицией любых преобразований посредством обратных радиусов с подстановками главной группы; все они вместе взятые снова образуют некоторую группу, а именно — группу обратных радиусов. Наконец, в случае Analysis situs имеем дело, с группой всех взаимно однозначных непрерывных отображений.

Теперь я хочу установить, от скольких независимых параметров зависит отдельная операция в каждой из этих групп.

В главной группе содержатся движения с шестью параметрами и к ним присоединяется еще один параметр (коэффициент гомотетии), так что в общем имеется семь параметров; мы выражаем это, обозначая главную группу через Уравнения общего аффинного преобразования содержат а уравнения проективного преобразования произвольных коэффициентов, причем, однако, в последнем случае один общий множитель не имеет существенного значения; таким образом, аффинная группа есть некоторая а проективная — некоторая Группа обратных радиусов представляет собой — я сообщаю это здесь без доказательства — некоторую и, наконец, группа всех гомеоморфизмов вообще не имеет конечного числа параметров, так как ее операции зависят от произвольных функций или, если угодно, от бесконечно многих параметров (эту группу обозначаем через ).

В установленной нами связи различных видов геометрий с группами преобразований можно усмотреть основной принцип, служащий для характеристики всех вообще возможных геометрий. В этом именно и заключается основная мысль моей эрлангенской программы: пусть дана какая-либо группа пространственных преобразований, которая содержит главную группу как свою часть-, тогда теория инвариантов этой группы даст определенный вид геометрии, и таким образом можно получить любую возможную геометрию. В качестве характеристики каждой геометрии всегда ставят на первый план ее группу.

Этот принцип в литературе проведен полностью только для первых трех случаев нашей схемы; ими, как наиболее важными или наиболее известными, мы займемся еще немного, и при этом прежде всего рассмотрим переход от одного случая к другому.

Меняя порядок изложения на обратный, я начинаю с проективной геометрии, т. е. с группы всех проективных преобразований, которые мы записываем в однородных координатах:

Чтобы прийти отсюда к аффинной группе, воспользуемся тем замечанием, что проективное соответствие становится аффинным в том случае, если оно переводит бесконечно удаленную плоскость в себя, т. е. если каждой точке с соответствует, точка На самом деле это сводится к тому, что , и поэтому из уравнений получаются путем деления (первых трех уравнений на четвертое), если, кроме того, заменить частные просто через такие уравнения в неоднородном виде:

а это действительно — наши старые формулы аффинного соответствия. Таким образом, условие неизменяемости бесконечно удаленной плоскости выделяет из проективной группы некоторую -параметрическую «подгруппу», а именно, как раз аффинную группу.

Вполне аналогичным образом можно прийти к главной группе определяя те проективные или соответственно аффинные преобразования, которые, кроме бесконечно далекой плоскости, переводят в себя также и мнимую окружность сфер, т. е. те преобразования, при которых каждой точке, удовлетворяющей уравнениям

соответствует точка, удовлетворяющая тем же уравнениям. Вы легко можете убедиться в правильности этого утверждения, стоит только обратить внимание на то, что наше условие определяет с точностью до некоторого постоянного множителя как раз шесть (однородных) констант конического сечения, соответствующего окружности сфер в силу аффинного соответствия в плоскости и поэтому накладывает на 12 констант аффинного соответствия условий, так что остается как раз параметров группы