Площади фигур, ограниченных кривыми линиями.
Перейдем теперь от многоугольников к фигурам, ограниченным кривыми линиями. Итак, мы рассматриваем какую-либо замкнутую кривую, которая сколь угодно часто может пересекать себя; мы приписываем ей определенное направление обхода и спрашиваем, какую площадь она ограничивает.
Рис. 14
Конечно, мы найдем эту площадь, аппроксимируя кривую (рис. 14) многоугольниками с очень большим числом весьма малых сторон и отыскивая предел суммы площадей этих многоугольников, определяемых только что указанным образом. Если 
две соседние вершины такого аппроксимирующего нашу кривую многоугольника, то его площадь составится из суммы элементарных треугольников 
т. е. исключительно из слагаемых вида
В пределе эта сумма переходит в криволинейный интеграл
взятый вдоль нашей кривой в указанном направлении; это дает нам определение площади, ограничиваемой нашей кривой.
Чтобы дать геометрическое толкование этого определения, можно перенести на этот новый случай результат, высказанный нами для многоугольников: каждая заключенная внутри кривой часть площади входит в интеграл столько раз со знаком плюс и столько раз со знаком минус, сколько раз она описывается соответственно против часовой стрелки или по часовой стрелке при однократном обходе всей кривой в заданном направлении.
В случае простой кривой, подобной изображенной на рис. 14, этот интеграл дает поэтому в точности ограничиваемую этой кривой площадь со знаком плюс.
На рис. 15 внешняя часть считается один раз, а внутренняя — два раза со знаком плюс; на рис. 16 левая часть получает знак минус, а правая — знак плюс, так что в общем получается отрицательная площадь; на рис. 17 одну часть совсем не приходится брать в расчет, так как для нее получается один раз положительный, а другой раз отрицательный обход.
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
Конечно, таким образом могут возникнуть и кривые с площадью, равной нулю, если бы, например, кривая на рис. 16 была симметрична относительно точки пересечения; этот случай не представляет сам по себе ничего нелепого, если принять во внимание, что все определение площади основывается исключительно на целесообразных соглашениях.
