ПРИМЕЧАНИЯ

1. Термин «относительные» числа, некогда бытовавший и а нашей школе, означает рассмотрение чисел вместе со знаками, т. е. одновременное рассмотрение как положительных, так и отрицательных чисел (в противоположность «абсолютным», т. е. положительным, величинам, — в соответствии с чем модуль числа назывался его «абсолютной величиной»). Сейчас эта терминология становится архаичной. Чтобы отметить, что допускаются к рассмотрению как положительные, так и отрицательные числа, просто говорят о действительных числах, вместо термина «абсолютная величина числа» сейчас применяют термин модуль числа (см. также примечание 18 на с. 384 первого тома). Заметим, впрочем, что в современных алгоритмических языках взятие модуля числа М обозначается через ABS(M).

2. Используемые Клейном факты аналитической геометрии можно найти в учебниках. См., например, Постников М. М, Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1973; Делоне Б. Н., Райков Д. А. Курс аналитической геометрии. — Т. 1. — М.: Гостехиздат, 1948. — Т. 2.-М.: Гостехиздат, 1949.

3. Здесь и далее Клейн говорит о наглядно понятном способе выбора одной вполне определенной системы координат, связанном с нашими представлениями о реальном пространстве. Например, если учитель стоит перед классной доской, то он может говорить о направлениях «вправо», «вверх», вперед» (от классной доски), и этот способ выражения будет понятен всем сидящим в класса учащимся. Математически же речь идет о том, что мы фиксируем на прямой какое-либо положительное направление и условливаемся называть его направлением вправо; иначе говоря, точка В нашей прямой считается лежащей правее точки А, если вектор

АВ имеет направление, совпадающее с фиксированным направлением на этой прямой. Аналогично, когда речь идет о плоскости или пространстве, предполагается фиксированной некоторая система координат, и под направлениями вправо, вверх, вперед понимаются направления осей х, этой системы.

4. В реальном пространстве направления «вправо», «вверх», а также «по» и «против» часовой стрелки понятны учащимся, если, например, учитель делает чертежи на классной доске. Приведенная формулировка приобретает математически точный смысл при следующих соглашениях. Мы фиксируем на плоскости одну прямоугольную систему координат и принимаем направления ее осей х, у за направления «вправо» и «вверх». Далее, направленна вращения, при котором ось х фиксированной системы переходит в ось у в результате поворота на 90°, условимся считать направлением против часовой стрелки (положительное направление вращения), а противоположное направление — направлением вращения по часовой стрелке. При этих соглашениях приведенная формулировка и ее доказательство сохраняются.

5. Это утверждение имеет ясный смысл в реальном простран стве, поскольку, как бы мы ни располагались в пространстве, мы, видя перед собой плоскость, считаем понятным, что означает направление по или против часовой стрелки в этой плоскости. Однако точная математическая формулировка этого утверждения близка к тавтологии. В самом деле, пусть в смысле фиксированной системы координат введенной в пространстве, точка А находится перед плоскостью (в которой определено — с помощью осей к у — направление вращения по часовой стрелке и против нее). Пусть, далее, с помощью непрерывного перемещения в пространстве (или, иначе, с помощью движения с положительным определителем) точка А и плоскость переводится соответственно в точку С и плоскость у. Тогда с помощью этого движения направление врашения против часовой стрелки в плоскости переводится в такое направление вращения в плоскости у которое считается наблюдаемым из точки С как направление тоже против часовой стрелки. Иначе говоря, направление вращения определяется с помощью движений с положительным определителем. Но то, что при таких преобразованиях сохраняется знак в формуле объема, очевидно.

6. Об использовании знаков отрезков в элементарной геометрии и преимуществах этих соглашений имеется специальный раздел в превосходной книге: Адамар Ж. Элементарная геометрия. - Ч. 1: Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1957,- Ч. 2: Стереометрия. — 2-е изд.-M.s Учпедгиз, 1958.

7. Об ангармоническом отношении, гармонических четверках точек и их роли в проективной геометрии Клейн пишет в дальнейших частях книги. По поводу основных понятий проективной геометрии см. следующие книги: Глаголев Н. А. Проективная геометрия. — М.; Л.: ОНТИ, 1936; Гильберт Д., Кон - Фоссен С. Наглядная геометрия. — 3-е изд. — М.: Наука, 1981; Кокстер X. С. М. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматгиз, 1960; Ефимов Н. В. Высшая геометрия. - 6-е изд.- М.: Наука, 1978- Болтянский В. Г. Элементарная геометрия.-М.: Просвещение, 1985.

8. Клейн для простоты ограничивается в начале своих лекций лишь определителями третьего порядка. Если же взять определитель четвертого порядка

(который, очевидно, равен нулю из-за совпадения двух столбцов), то получится более простое и общее доказательство, не требующее предположения где — координаты точки О. В самом деле, разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, получаем соотношение

которое совпадает с равенством .

9. Доказанное тождество дает важную и интересную интерпретацию барицентрических координат с помощью площадей; Клейн об этих координатах пишет ниже. См. также Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.; Наука, 1987. (Библиотечка «Квант»),

10. Об аксиомах, лежащих в основе определения общего понятия площади, можно (в синтетическом изложении) прочитать в следующих книгах; Лебег А. Об измерении величин.-М.: Учпедгиз, 1960; Рохлин В. А. Площадь и объем//Энциклопедия элементарной математики. — Книга V: Геометрия.-М.: Наука, 1966. — С. 5—87; Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта.- М.: Наука, 1977. Во всех этих источниках площадь трактуется как положительная величина. В книге: Лопшиц А. М. Вычисление площадей ориентированных фигур. — М.: Гостехиздат, 1956, дается изложение, близкое к идеям, о которых пишет Клейн.

И. Если, как на рис. 14, на кривой выбрано направление обхода против часовой стрелки (в случае противоположного направления обхода получится площадь, взятая со знаком минус).

12. Для того чтобы ситуация была яснее, на рис. 15 и 16 удобно взять начало координат в точке самопересечения кривой, а на рис. 17 — в левой из двух точек самопересечения.

13. То есть так, что направление вектора получается из направления вектора 12 (с началом 2 и концом ) поворотом на против часовой стрелки.

14. Конечно, точки и должны полностью (и притом однократно) описать соответственно кривые, ограничивающие площади

15. Или иначе, барицентрами (от латинского слова baris — тяжелый). Сейчас чаще говорят «центры масс».

16. Или, чаще, барицентрическими координатами. Более подробно о барицентрических координатах и их применениях в геометрии можно прочитать в книге В. Г. Болтянского и М. Б. Балка «Геометрия масс», указанной в примечании 9. В частности, геометрическое определение масс задающих положение точки Р (которую обозначим через О) относительно треугольника с вершинами 1, 2, 3 имеет вид

17. Ее можно получить, записав (ср. примечание 8) равный нулю определитель пятого порядка, в первых трех столбцах которого стоят абсциссы, ординаты и аппликаты точек О, 1, 2, 3, 4, а в двух последних столбцах все элементы равны единице. Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, мы непосредственно получаем формулу

отличающуюся от формулы, написанной у Клейна, лишь очевидными перестановками строк в определителях четвертого порядка, выражающих объемы тетраэдров.

18; Необходимо сделать некоторые замечания относительно того, что Клейн понимает под многогранником. Выше под много-, угольником понималась произвольная замкнутая ломаная (возможно, самопересекающаяся).

Если отвлечься от сложностей, связанных с возможным слиянием нескольких вершин в одну, можно сказать, что в каждой вершине многоугольника сходятся ровно две его стороны, которые называются смежными (точки самопересечения ломаной вершинами не считаются). Многогранник считается составленным из конечного числа многоугольников (в указанном понимании), каждый из которых лежит в некоторой плоскости. Эти многоугольники называются гранями многогранника. При этом, для того чтобы конечный набор многоугольников представлял собой многогранник, необходимо выполнение двух условий: во-первых, многоугольники - грани должны либо примыкать друг к другу целой стороной, либо иметь общую вершину, либо совсем не иметь общих точек и, во-вторых, многоугольники - грани должны примыкать друг к другу общими сторонами два. Иначе говоря, если а — некоторое ребро многогранника, т. е. сторона одной из граней, то должна найтись еще ровно одна грань, примыкающая к этому ребру а.

Если теперь на каждой грани задать некоторое направление обхода, то на общем ребре двух граней взятые направления обхода могут определять либо одинаковое, либо противоположное направление. Правило ребер Мёбиуса считается выполненным, если на любом ребре две примыкающие к этому ребру грани определяют противоположные направления. Если правило ребер Мёбиуса выполнено, то говорят также, что направления обхода, взятые на всех гранях многогранника, являются согласованными.

19. Это утверждение о «сумме» многогранников надо здесь понимать лишь в том смысле, что объем тетраэдра (1, 2, 3, 4) равен сумме объемов четырех указанных «тетраэдров-частей» при указываемом порядке вершин.

20. Здесь Клейн предполагает, что в плоскости рассматриваемой грани в качестве направления «против» или «по» часовой стрелке принимается то, которое мы получаем, наблюдая эту плоскость из точки О. Только после того как в плоскости установлены направления против и по часовой стрелке, можно определить площадь многоугольника (возможно, самопересекающегося), на контуре которого задано направление обхода.

21. Это неточность: никакой знак уже присоединять не нужно, поскольку площадь основания (1, 2, 3, 4, б, 6) может быть положительной или отрицательной, в зависимости от чего объем пирамиды (получающийся при умножении, площади основания треть высоты) будет положительным или отрицательным.

22. Пусть О — точка, отличная от О. Заменяя в формуле на с. 31 точку 4 на О, перепишем эту формулу в виде

Аналогичная формула справедлива не только для треугольника , но и для произвольного многоугольника, на контуре которого задано определенное направление обхода. Если теперь на всех гранях ыиогогранника заданы направления обхода, согласованные друг с другом, то при суммировании иаписанных соотношений по всем граням многогранника мы для каждого ребра получаем в правой части два слагаемых ввиду наличия двух граией, примыкающих к этому ребру.

Иначе говоря, правая часть соотношения, получающегося в результате суммирования, равна нулю, т. е. разность объемов, получающихся, если исходить от точки О или от точки О, равна нулю. Этим и устанавливается независимость результата от выбора точки О.

23. Если в трехмерном пространстве задана замкнутая, не пересекающая себя поверхность, составленная из плоских многоугольников (рассматриваемых не как контур, а как часть плоскости), то она ограничивает некоторую область пространства (внутреннюю ее область). Теперь для каждой грани рассматриваемой многогранной поверхности можно задать такое направление обхода, которое из близких к этой грани точек, расположенных во внешней области, наблюдается как направление по часовой стрелке. Это дает, как легко понять, согласованные направления обхода на всех гранях рассматриваемой многогранной поверхности. Таким образом, для замкнутой многогранной поверхности, не пересекающей себя, можно задать на всех гранях согласованные направления обхода, и это позволяет определить объем соответствующего многогранника (т. е. объем внутренней области, ограничиваемой рассматриваемой поверхностью).

Напротив, среди замкнутых многогранных поверхностей, пересекающих себя, существуют как поверхности, на которых можно задать согласованные направления обхода на всех гранях, так и поверхности, для которых это не удается сделать. Таковыми являются односторонние поверхности, не разрезающие близлежащие точки на две области (внутреннюю и внешнюю), а имеющие лишь одну сторону. Такую поверхность (лист Мёбиуса) Клейн и описывает ниже.

24. Эта поверхность была независимо от Мёбиуса открыта Листингом.

25. Подробное описание листа Мёбиуса и его свойств (а также рисунок, изображающий деятельность маляра, о которой пишет Клейн) можно найти в книге: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982.- (Библиотечка «Квант»), Заметим, что лист Мёбиуса является незамкнутой поверхностью (он имеет край); только поэтому его и удается реализовать в трехмерном пространстве без самопересечений (в виде перекрученной бумажной ленты). Замкнутую же одностороннюю поверхность, как вытекает из сказанного в примечании 23, невозможно реализовать в трехмерном пространстве без самопересечений.

26. Эта замкнутая односторонняя поверхность («перекрученная пятигранная пирамида», как ее называет Клейн) топологически эквивалентна проективной плоскости. Самопересекающийся семигранник, о котором ниже пишет Клейн (он был впервые в литературе упомянут Рейнхардтом в 1885 г.), также представляет собой замкнутую одностороннюю многогранную поверхность, топологически эквивалентную проективной плоскости (т. е. обе замкнутые многогранные поверхности гомеоморфны между собой).

Отметим, что Клейну принадлежит открытие еще одной замкнутой односторонней поверхности, называемой теперь бутылкой Клейна, она может быть, например, получена, если два листа Мёбиуса склеить их краями. Подробнее обо всем этом см. в книге, указанной в предыдущем примечании 06 общем определении ориентации и ориентируемых многомерных многообразиях см. книгу: Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986.

27. Это утверждение верно при условии, что хотя бы одно из чисел X, Y отлично от нуля. Об исключительном случае (получающемся при совпадении точек 1 и 2) Клейн говорит ниже.

28. Иначе говоря, речь идет о множестве всех движений (системы кординат) с определителем Каждое такое движение может быть осуществлено непрерывным перемещением прямоугольной системы координат в ее плоскости; это и имеет в виду Клейн, говоря о движениях «в буквальном смысле слова».

29. Здесь Клейн несколько краток. При рассмотрении геометрических свойств фигур нужно рассматривать не одну, а несколько различных групп преобразований координат (или преобразований плоскости). Для элементарной геометрии наиболее важны две группы. Первая из них — обозначим ее через Р и назовем группой подобий — состоит из всех преобразований координат, которые могут быть получены композициями указанных выше преобразований Вторая группа — обозначим ее через D и назовем группой движений — состоит из всех преобразований координат, получающихся композициями преобразований Формул, инвариантных относительно всех преобразований группы D, больше, т. е. эта группа определяет болез обширный набор геометрических свойств, чем группа Р. Так, например, формула определяющая длину d отрезка с концами в точках инвариантна относительно всех преобразований группы D, но перестает быть инвариантной, если мы перейдем к группе Р (при изменении масштаба длина отрезка изменяется). Иначе говоря, группа D соответствует рассмотрению геометрических свойств фигур при фиксированной единице длины. Напротив, отношение длин (а также углы) остаются инвариантными при всех преобразованиях группы Р. Принято считать, что различие между геометриями, определяемыми группами О и Р, несущественно. В качестве примера отметим, что окружность центром О можно определить как множество всех таких точек А, для которых расстояние между точками О и А равно заданному числу . При таком определении свойство фигуры быть окружностью выступает как объект геометрии группы D. Однако определение окружности можно сформулировать и иначе: для любых двух точек рассматриваемого множества С отношение расстояний равно единице. Эта формулировка определения показывает, что свойство фигуры быть окружностью является в действительности объектом геометрии группы Р. Аналогично, равнобедренный треугольник можно определить как такой, у которого длины обеих боковых сторон равны заданному числу I, но можно определить и иначе: отношение длин боковых сторон равно единице. Таким образом, свойство фигуры быть равнобедренным треугольником относится не только к геометрии группы D, но и к геометрии группы Р. Теорему Пифагора и другие теоремы элементарной геометрии также можно сформулировать в терминах величин углов и отношений длин, что и дает повод к утверждению о совпадении содержания геометрий групп D и Р. Однако в действительности эти геометрии все же различны (см. примечание 122).

30. Например, соотношения можно переписать в виде

т. е. попарные отношения величин выражаются только через попарные отношения исходных величин

31. То есть в зависимости от того, относится рассматриваемый инвариант к геометрии группы D или к геометрии группы Р (см. примечание 29).

32. Для единообразия дальнейших формул определитель берется не в том виде, как он получается из рассматриваемой матрицы (вычеркиванием второго и четвертого столбцов), а с перестановкой оставшихся столбцов (т. е. с изменением знака). То же относится к и

33. Как и в случае геометрии на плоскости, это утверждение справедливо лишь при условии, что хотя бы один из определителей 8, Ш, 91 отличен от нуля. Об исключительном случае (получающемся, если точки 1, 2, 3 лежат на одной прямой) Клейн пишет ниже.

34. Клейн везде говорит о «минорах», но берет их со знаками ±, т. е. рассматривает соответствующие алгебраические дополнения.

35. При дополнительном требовании, что хотя бы одно из чисел X, Y, Z отлично от нуля.

36. Выражая в силу первых трех формул (1) через подставляя эти значения в оставшиеся три формулы (1), получаем для L, М, N следующие выражения:

Эти соотношения можно при заданных рассматривать как систему уравнений относительно Матрица — коэффициентов этой системы имеет нулевой определитель, а если дополнительно предположить, что хотя бы одно из чисел X, Y, Z отлично от, нуля, то ранг этой матрицы равен 2. Следовательно, для разрешимости системы необходимо и достаточно, чтобы и расширенная матрица имела ранг 2, т. е. чтобы все определители третьего порядка были равны нулю. Например, вычеркивая столбец коэффициентов при получаем определитель

который равен нулю в силу условия (3). Аналогично, обращаются в нуль и все другие определители третьего порядка, т. е. система совместна.

Определив из этой системы какие-либо значения , мы затем из первых трех соотношений (1) найдем

37. Точнее, у, где — положительное число (длина рассматриваемого ненулевого вектора), — углы, образованные этим вектором с положительными направлениями осей координат прямоугольной системы. Диагональ, о которой идет речь, имеет направление от начала координат к противоположной вершине параллелепипеда (с координатами ).

38. Поскольку прямые, вдоль которых действуют рассматриваемые силы, параллельны, но не совпадают, хотя бы одно из чисел отлично от нуля. В самом деле, обращение всех этих трех чисел в нуль означало бы, что т. е. координаты рассматриваемых двух линейных элементов (изображающих силы) полу, чаются друг из друга умножением на —1, т. е. пропорциональны, и потому эти линейные элементы определяют одну и ту же бесконечную прямую. Даже включая в понятие силы бесконечно малую, бесконечно удаленную силу с конечными моментами вращения, т. е. то, что в элементарном изложении называют парой сил.

40. Дальнейшие вычисления проводятся при условии, что хотя бы одно из чисел Е, Н, Z отлично от нуля — об этом Клейн пишет в конце доказатель

41. Если направленный отрезок смещать по содержащей его прямой, то величины X, Y, Z, L, М, N изменяться не будут и потому не будет изменяться определенный выше момент одного линейного элемента по отношению к другому, т. е. не будет изменяться объем тетраэдра (1, 2, 12); то же справедливо и при смещении направленного отрезка (V, 2) вдоль содержащей его прямой. Следовательно, мы можем считать точки и 2 совпадающими с концами отрезка . При таком расположении отрезков площадь треугольника (2, Г, 2) равна а высота тетраэдра, проведенная из вершины 1, равна откуда и вытекает, что объем тетраэдра равен а момент равен В соответствии со сделанным на с. 13 соглашением о знаке объема тетраэдра угол Ф должен считаться положительным или отрицательным в зависимости от того, видим ли мы из точки 1 направление обхода треугольника (2, 1, 2) совершающимся против часовой стрелки или по часовой стрелке.

42. Это будет видно из дальнейшего исследования, в котором Клейи рассматривает лишь случай, когда динама имеет общий вид (т. е. не сводится к одной силе и не сводится к паре сил).

43. Согласно сказанному в предыдущем примечании имеем (и потому число определено и отлично от нуля).

44. Винтовым движением называется композиция поворота вокруг некоторой оси и параллельного переноса в направлении этой оси. Частным случаем винтового движения является поворот (если параллельный перенос представляет собой тождественное отображение), а также параллельный перенос.

Любое сохраняющее ориентацию движение трехмерного пространства («собствен ное движение» по терминологии Клейиа) является винтовым движением — см. Болтянский В, Г, Элементарная геометрия. — М.: Просвещение, 1985.

45. На первый взгляд этот вывод может показаться парадоксальным, так как получается, что для получения всех нулевых осей достаточно построить в каждой точке пространства по одной из них, а между тем через каждую точку должно проходить бесконечно много нулевых осей. Но при указанном построении действительно через данную точку Р пройдет бесконечно много прямых, но только построенных (кроме одной) не в Р, а в других точках пространства.

46. См. примечание 44.

47. Здесь термин «зеркальное отражение» Клейн использует для обозначения движения с определителем — 1, т. е. движения не в «собственном смысле слова» (оставляющего неподвижным начало координат). Заметим, что, например, зеркальное отражение относительно плоскости можно представить в виде композиции двух движений: преобразования т. е. симметрии относительно начала координат, и преобразования представляющего собой «собственное» движение (поворот на 180° вокруг оси ). Именно поэтому Клейн не причисляет симметрии относительно координатных плоскостей к числу «элементарных» движений, композициями которых можно получить любые изменения прямоугольной системы координат, а ограничивается преобразованием

48. Это равносильно тому, чтобы транспонировать в левой части первый множитель (что не меняет определителя), а затем, как обычно, умножать строки первого определителя на столбцы второго.

49. Это вытекает из приводимых ниже соображений о знаках определителей.

50. При линейном преобразовании координат

координаты X, Y, Z, L, М, N линейного элемента преобразуются следующим образом Имеем

Аналогично преобразуются координаты У, Z, т. е. мы получаем

Далее,

Аналогично преобразуются координаты М, М, т. е. мы получаем

Если теперь мы рассматриваем пару сил, т. е. осуществляем пре»: дельный переход, при котором X, Y, Z стремятся к нулю, a L, М, N имеют конечные пределы, хотя бы один из которых отличен от нуля («бесконечно удаленная бесконечно малая сила а конечными моментами вращения»), то и в новой системе координат мы получаем в пределе тогда как новыа координаты V, М, N выражаются через L, М, N по формулам Это и дает формулы преобразования координат пары сил при переходе к новой системе координат.

Теперь остается подставить значения коэффициентов для каждого из преобразований ( - это и дает формулы ), При этом для получения формул надо лишь использовать соотношение (7) (и аналогичные равенства для других коэффициентов, о которых Клейн пишет на с. 68).

51. Клейн имеет в виду поведение координаты вектора при зеркальном отражении системы координат относительно ее начала.

52. Аксиальные векторы называют также осевыми векторами или псевдовекторами.

53. Собственно говоря, «начало» имеет направленный отрезок, а не вектор. Смысл высказывания Клейна состоит в том, что мы откладываем векторы от одной точки А, т. е. находим такую точку что разности координат точек и А равны (и аналогично для второго вектора). Откладывая от той же точки А сумму рассматриваемых векторов, мы и получаем направленный отрезок, изображаемый диагональю параллелограмма. Следует при этом оговорить, что рассматриваемое описание («параллелограмма сил») применимо только в том случае, если векторы - слагаемые не коллииеарны, т. е. их координаты не пропорциональны.

54. Здесь и далее Клейн несколько чрезмерно жесток к механике и физике Использование аналогии между действиями над числами и действиями над векторами характерно также и для математики. Так, широко используемые в математике и ее приложениях векторные пространства вводятся с помощью системы аксиом, явно использующей указанную аналогию. Название «скалярное произведение», о котором Клейн пишет ниже, широко применяется в ряде разделов математики (например, в линейной алгебре и функциональном анализе). К тому же название «произведение» для этой операции имеет столько же оснований, сколько и результат операции умножения, рассматриваемой в гиперкомплексных системах (ем. т. 1, с. 89, где Клейн не высказывает в столь, эмоциональной форме своего недовольства прижившейся терминологией).

Однако; оставляя терминологические соображения в стороне, следует отметить, что детальный анализ, проведенный Клейном на базе «грассманова принципа», глубоко вскрывает природу геометрических объектов, прежде затушевывавшуюся рассмотрением только одной фиксированной системы координат (или только «правых» систем координат).

55. В самом деле, совершенно так же, как в примечании 50, устанавливается, что при линейной однородной подстановке координат компоненты свободного плоскостного элемента преобразуются по формулам, аналогичным

и т. д. Отсюда получаем для любого свободного вектора X, Y, Z и любого свободного плоскостного элемента и соотношение

Следовательно, равенство сохраняется при любом аффинном (однородном) преобразовании. Однако в неортогональной системе координат это равенство уже не означает ортогональность векторов с компонентами и X, Y, Z. Отсюда вытекает, что свободный плоскостной элемент, удовлетворяющий условиям

в исходной (прямоугольной) системе координат, т. е. такой, что вектор с компонентами имеет направление векторного произведения векторов получает в другой (непрямоугольной) системе компоненты задающие вектор, вообще говоря, не ортогональный исходным векторам. Иначе говоря, совпадение компонент свободного плоскостного элемента и векторного произведения заданных свободных векторов, имевшее место в исходной прямоугольной системе, разрушается при переходе к непрямоугольной системе.

56. Наиболее общее понимание линии в современной математике относится к области топологии и связано с именем выдающегося советского математика П. С. Урысона (безвременно погибшего в возрасте 26 лет). Урысону принадлежит общее определение размерности топологического пространства в частности, любого подмножества евклидова пространства). После этого линия естественно определяется как фигура, имеющая размерность 1. Например, плоская фигура (т. е. подмножество плоскости) является в урысоновском понимании линией, если, во-первых, не содержит никакого круга (т. е. имеет размерность ) и, во-вторых, она не является несвязной (т. е. имеет размерность ). В трехмерном пространстве размерность фигуры определяется сложнее. См. интересную и прекрасно написанную книгу. Пархоменко А. С. Что такое линия. — М.: Гостехиздат, 1954.

Заметим, кстати, что подход, описанный Клейном в п. 3) и 4), приводит к двум различным обобщениям наивного понимания «линии». Одно понимание состоит в том, что параметрическая запись рассматривается как способ описать множество всех точек, получающихся таким образам, т. е. как способ задания линии, понимаемой в смысле п. 5).

Здесь значения параметра t в конце концов исключаются, т. е. не важно, при каком t получается та или иная точка, а важно лишь все множество получающихся точек. Второе понимание учитывает последовательность пробегания точек при возрастании параметра t, скажем, от. О до I. Такое понимание определяет путь (это понятие, в частности, играет важную роль в алгебраической топологии). Таким образом, линия как множество точек или линия как путь — это разные трактовки понятия линии, которые Клейн не различает четко.

57. Можно сказать, что в таком понимании синтез означает последовательное «восхождение» от данных (при помощи отдельных «шажков мысли») к искомой цели, т. е., например, к получению требуемого доказательства или осуществлению построения. Напротив, анализ можно представлять как «попятное движение» от цели, т. е. решения задачи, к тем все более простым посылкам, из которых эта цель может быть достигнута, пока мы на заполним цепочку между искомым решением и имеющимися данными. При таком понимании анализ еще не дает решения задачи (если только мы в процессе анализа не убеждались каждый раз в обратимости очередного логического «шажка»), а лишь дает отыскание пути решения; по этому поводу см. Болтянский В. Г. Анализ — поиск решения задачи//Математика в школе. — 1974. — № 1. Иначе говоря , — и при решении задачи на построение это, как правило, всегда требуется за анализом (первым этапом решения) должен следовать второй этап — осмысления, оформления найденного пути решения в виде четкого решения (например, описание окончательно найденного построения), а затем третий этап — доказательство, обоснование этого решения в виде синтетического рассуждения, ведущего от данных к искомому. В задачах на построение, на нахождение всех решений алгебраической задачи и т. п. имеется еще заключительный четвертый этап — исследование, говорящее о числе решений в зависимости от выбора параметров, характеризующих условие.

58. Здесь следует с удовлетворением отметить, что в современном преподавании математики в школе (как высшей, так и средней) векторы заняли в советской школе прочное место, — хотя и существуют различные точки зрения по вопросу о том, в достаточной ли степени пронизан курс математики применением векторных методов. Об истории введения векторных методов в преподавание математики можно прочитать в интересной статье: Глейзер Г. Д., Кеян Г. К. К истории вопроса об изучении векторов//Математика в школе. — 1986. — № 5. — С. 54—57.

59. В программах и учебниках, действующих в советской школе, эта точка зрения Клейна находит свое отражение в том, что придается очень большое и серьезное значение вопросу об осуществлении межпредметных связей математики с другими предметами (физикой, химией, информатикой, географией и т.д.), а также вопросу о внутрипредметных связях в математике — между курсами геометрии, алгебры, начал математического анализа,

60. Это определение поляры не является общим (например, оно неприложимо, если точка лежит во внутренней области, т. е. через нее не проходит ни одна действительная касательная к рассматриваемому коническому сечению).

Общее определение получается либо переходом в комплексную область (из любой точки, не принадлежащей коническому сечению, можно провести к нему две касательные, которые, однако, могут оказаться мнимыми, но и в этом случае прямая, соединяющая точки касания, будет действительной — это и есть поляра), либо с использованием гармонических четверок точек. Именно, если через точку проводить всевозможные прямые, пересекающие коническое сечение в двух точках а, 6, то множество всех таких точек q, что — гармоническая четверка, представляет собой либо прямую, либо часть некоторой прямой. Эта прямая я и есть поляра точки .

61. Теорема Паскаля (доказанная им в 1639 г.) утверждает, что если — шестиугольник, вписанный в коническое сечение, то диагональные точки М, N, Р, получающиеся при пересечения прямых лежат на одной прямой. Двойственная ей теорема Брианшона (установленная им в 1806 г.) формулируется следующим образом. Пусть — шесть касательных конического сечения; тогда диагонали получающегося описанного шестиугольника т. е. прямые пересекаются в одной точке. Доказательства этих теорем (а также изложение идей проективной геометрии и обоснование принципа двойственности) можно найти в книгах, указанных в примечании 7.

62. См. сноску на с. 89.

63. При условии, что рассматриваемая прямая не параллельна плоскости .

64. Заметим, что Клейн ошибается, назвав автора анонимным: «Квадрат» — псевдоним математика Эдвина Э. Эббота, который и является автором книги. Русский перевод: Эббот Э. Э. Флатландия//Эббог Э. Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. — М.: Мир, 1976.

65. Это слово «здесь» выделено для того, чтобы читатель не принял даваемую для данного случая характеристику математики за общую точку зрения Клейна.

66. Сказанное здесь относится только к ортогональному преобразованию координат, поскольку только в этой системе переход к обратной матрице (см. (2)) соответствует ее транспонированию. Как видно из соотношения (5) на с. 67 и получаемых из него дифференциальных следствий, коэффициенты в выражении компонент через являются линейном (аффинном) преобразовании координат элементами не самой матрицы перехода от , а элементами обратной матрицы. В связи с этим природа вектора отлична от вектора последний называют контравариантным, а первый — ковариантным вектором. Различие природы контравариантных и ковариантных векторов сказывается уже при изменении машстаба (о чем ниже пишет Клейн). Различие контравариантных и ковариантных компонент особенно существенно в тензорном исчислении и общей теории относительности. См. книгу Б. А. Дубровина, С. П. Новикова, А. Т. Фоменко, указанную в примечании 26.

67. Сейчас, как правило, изменение знака, о котором пишет Клейн, не применяется, т. е. градиентом называют вектор с компонентами он указывает направление быстрейшего возрастания функции

68. Это замечание Клейна представляется очень важным для школьного преподавания математики. Речь идет о том, чтобы, исходя из общей теоретико-множественной точки зрения (рассматривающей изучаемые в анализе функции как частный случай общего понятия отображения одного множества в другое), трактовать преобразования плоскости или пространства как своеобразные «геометрические функции». Этот «мостик» между анализом и геометрией не только создает удобства в смысле общности теоретико-множественного математического языка, применяемого в этих и других областях элементарной математики («образ», «прообраз», «переходит в», «обратные преобразования или функции», «область определения» и т. д.), но и имеет принципиальное методологическое значение как важный элемент современной математической культуры. Понятия множества, отображения, отношения эквивалентности и связанной с ним классификации и др. играют сегодня важную роль в информатике, математической лингвистике, математической экономике, теоретической физике, биологии. То, что Клейн предвидел это уже в начале столетия, является проявлением его общей прогрессивной позиции «фузионизма», т. е. не разобщенного рассмотрения отдельных ветвей математики, а нахождения и подчеркивания (как в науке, так и в преподавании) взаимосвязей, взаимопроникновения и влияния различных областей на их взаимообусловленное развитие. Кстати (об этом Клейн кратко пишет в следующем абзаце), именно геометрия дает простые и наглядные примеры отображений более общего вида, чем функции, рассматриваемые в элементарном анализе (где всегда число переходит в число, или точка — в точку), а именно, отображений, переводящих элементы одного множества в элементы другого. Так, в предыдущей главе речь шла о принципе двойственности в проективной геометрии, первоначальный вариант которого представлял собой отображение, сопоставляющее каждой точке некоторую прямую (ее поляру относительно фиксированного конического сечения).

69. Следует подчеркнуть, что аналитическая трактовка фактов геометрии, систематически и изысканно преподносимая Клейном в его лекциях (и даже встречающиеся далее высказывания о превосходстве такого подхода перед «чисто синтетическим пониманием геометрии), преследует строго определенную цель: дать его слушателям или читателям глубокое, четко проведенное исследование, вскрывающее аналитическую природу основных геометрических понятий, их взаимосвязь и поведение при геометрических преобразованиях, а также позволяющее далеко проследить клейновскую «эрлангенскую» точку зрения на геометрию как на теорию инвариантов определенных групп преобразований. По мысли Клейна учитель должен во всем этом хорошо разбираться. Это не следует понимать в том смысле, что в школе преподавание геометрии должно проводиться чисто аналитическим методом. Напротив, Клейн в ряде мест (и, в частности, в заключительной главе этой книги, — к сожалению, написанной очень кратко) подчеркивает необходимость генетического формирования геометрических понятий, развития интуиции, пространственных представлений, навыков изображения фигур и геометрических построений.

Иными словами, в первоначальном школьном преподавании должно самое существенное место занять синтетическое развитие геометрических знаний, что, конечно, не только не исключает использования идей эрлангенской программы, но, напротив, в своем высшем развитии школьное преподавание геометрии должно с самого начала широко использовать идеи симметрии, геометрические преобразования, групповой подход.

70. Клейн использует термин подобное преобразование пространства. В этом издании книги мы придерживаемся следующей терминологии. Гомотетией с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, которое каждую точку А переводит в такую точку А, что Далее, композиция гомотетии h и любого движения f называется преобразованием подобия. Все преобразования подобия образуют группу преобразований пространства.

71. Это не очень четко сформулированное утверждение можно уточнить следующим образом. Ограничимся случаем, когда определитель Д преобразования (1) отличен от нуля. В этом случае рассматриваемое преобразование взаимно однозначно отображает пространство на себя (причем и само преобразование и обратное ему являются непрерывными, т. е. представляют собой гомеоморфизмы.). Из этого следует, что если точка произвольным образом уходит в бесконечность От. е. неограниченно возрастает), то и точка получаемая преобразованием (1), уходит в бесконечность (и обратно). При это не всегда так, т. е. точка может таким образом уходить в бесконечность, что ее образ будет оставаться в конечной части пространства (или даже будет оставаться неподвижным).

Однако, судя по тому, что говорится в следующем абзаце, Клейн, видимо, имеет в виду следующее более слабое утверждение (которое справедливо при любом значении определителя 4 и очевидным образом вытекает из формул ): если независимо друг от друга стремятся к конечным пределам, то также стремятся к конечным пределам. Иными словами, точка не может уйти в бесконечность, если точка остается в ограниченной части пространства.

72. Легко видеть, что получаются из А, В, С линейным преобразованием с тем же определителем . Так как хотя бы одно из чисел А, В, С отлично от нуля (поскольку есть уравнение плоскости), то при также хотя бы одно из чисел А, В, С отлично от нуля, и потому уравнение также определяет плоскость. Таким образом, в случае образом каждой плоскости при преобразовании (2) снова является некоторая плоскость.

73. Интересно отметить, что здесь Клейн дает содержательно-геометрическую, а не координатную трактовку свободного вектора. Именно, если в главе I свободный вектор определялся как геометрический образ, характеризуемый компонентами Y, Z (с. 49-50), то здесь неявно используется следующая геометрическая интерпретация: свободным вектором называется множество (бесконечное!) всех направленных отрезков с одними и теми же компонентами X, Y, Z, т. е. направленных отрезков, получающихся друг из друга параллельными переносами.

Разумеется, эти определения вполне соответствуют друг другу. Вместе с тем существенно отметить, что даже при аналитическом изложении Клейн нацеливает слушателей на то, чтобы за каждым аналитическим определением геометрического образа уметь видеть его содержательно-геометрический смысл.

74. Клейн не всегда четко различает свободные векторы и направленные отрезки (например, говорит о двух векторах «на одной прямой»), полагая, что после сказанного в предыдущей части книги читатель легко придаст формулировкам точный смысл.

75. Для применения обычного правила умножения матриц (каждая строка первого множителя умножается на каждый столбец второго) нужно в выписываемом ниже, равенстве транспонировать первую матрицу и переставить множители.

76. Здесь Клейн трактует формулы (1) (или ) не как задающие аффинное преобразование самого трехмерного пространства R, а как аффинное отображение одного пространства R (в котором введены координаты в другое пространство R (с координатами . Этот же прием используется часто и в дальнейшем. В случае, если R совпадает с пространством R, мы имеем отображение пространства R в себя; в этом случае чаще всего в R рассматривается одна координатная система, причем трактуются как координаты точки-прообраза, а — как координаты ее образа при рассматриваемом аффинном отображении (1) пространства R в себя. Если это отображение взаимно однозначно (и потому имеет обратное аффинное отображение (4)), то оно называется аффинным преобразованием пространства R на себя.

77. Эта форма записи аффинных преобразований делает возможность простого и наглядного их представления. Ограничимся для простоты случаем плоскости и представим себе две декартовы системы координат, одна из которых прямоугольная, а другая косоугольная с разными длинами единичных отрезков по осям. Разобьем в каждом случае плоскость на параллелограммы, проводя через целочисленные точки каждой оси прямые, параллельные другой оси (в первой системе это будут квадраты, а во второй — параллелограммы общего вида). Если теперь в первой системе нарисовать некоторую фигуру М, а затем во второй системе перерисовать «по клеточкам» аналогичную фигуру М, то мы получим в результате «аффинно искаженную» копию М фигуры М. (В книге Делоне и Райкова, указанной в примечании 2, в качестве М берется рисунок котенка, а М будет вытянутым и перекошенным его изображением.) Переход от М к М и дает представление об аффинном преобразовании плоскости, а возможность переноса рисунка «по клеточкам» как раз и обусловлена видом формул (6).

78. Для получения таким образом произвольного эллипсоида достаточно в качестве брать положительные числа.

79. Учитывая направленность этих лекций Клейна на школьное преподавание, целесообразно привести еще пару примеров, более близких к школьной тематике (и уместных, например, для применения в кружковой работе):

Пример 1. В трапеция середины оснований обозначены через М и N, далее, Р - точка пересечения диагоналей, - точка пересечения продолженных: боковых, сторон. Доказать, что М, N, Р, Q лежат на одной: прямой.

Для доказательства осуществил аффинное преобразование, переводящее основание АВ и отрезок ММ в два: взаимно перпендикулярных отрезка. Тогда мы получим равнобочную трапецию, в которой указанные четыре точки лежат (в силу соображений симметрии) на одной прямой. Но тогда, переходя к исходной трапеции с помощью аффинного преобразования мы находим, что и в ней эти четыре точка лежат на одной прямой.

Пример 2. Вокруг данного эллипса L описать треугольник наименьшей площади.

Для решения осуществим аффинное преобразование переводящее эллипс L в круг К. Если Т — искомый наименьший треугольник, описанный вокруг L (т. е. отношение площадей фигур Т и L минимально), то треугольник обладает тем свойством, что отношение площадей (не меняющееся при аффинном преобразовании) фигур S и К минимально. Иначе говоря, S — треугольник минимальной площади, описанный вокруг круга К. Но тогда S — равносторонний треугольник, а искомый треугольник Т получается из S обратным преобразованием Так как существует однократно бесконечное семейство равносторонних треугольников, описанных около круга К, то, следовательно, существует однократно бесконечное семейство треугольников, описанных около данного эллипса и имеющих минимальную площадь. (Если задать точку касания одной из сторон описанного треугольника с эллипсом, то задача будет иметь единственное решение.)

Ряд других примеров имеется в книге: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Ч. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: Гостехиздат, 1955. — Ч. 2: Линейные и круговые преобразования. — М.: Гостехиздат, 1956.

80. В дальнейшем Е называется оригинальной, а Е— картинной плоскостью (или плоскостью изображений).

81. Говоря о косоугольной системе координат, Клейн здесь предполагает, что единицы масштаба для всех осей одинаковы (и совпадают с некоторой фиксированной единицей длины). Поэтому а число однозначно определяется выбором оси у, плоскости Е и направления проектирования.

82. В самом деле, расположим плоскости Е и Е, как указано в тексте, т. е. так, чтобы точки М, А совпали соответственно с но точка В не лежала в плоскости Е. Далее, рассмотрим параллельное проектирование плоскости Е на Е с помощью связки прямых, параллельных прямой ВВ. Это проектирование осуществляет аффинное отображение плоскости Я на Е, переводящее точки М, А, В соответственно в АГ, А, В. Исходное аффинное отображение плоскости Е на Е также переводит М, А, В соответственно в М, А, В. Но существует единственное аффинное отображение одной плоскости на другую, переводящее заданные три точки М, А, В (не лежащие на одной прямой) в М, А, В. Следовательно, исходное аффинное отображение совпадает с построенным параллельным проектированием плоскости Е на

83. Более подробно: пусть Е и Е — две плоскости в трехмерном евклидовом пространстве R и f — аффинное отображение плоскости Е на Е; тогда существуют такое преобразование подобия g пространства R (т. е. композиция гомотетии я движения) и такое параллельное проектирование пространства R на плоскость Е, что композиция рассматриваемая на плоскости Е, совпадает с f. Предыдущими рассмотрениями эта теорема полностью доказана.

84. Эта формулировка не очень четкая, а последующие несколько страниц, посвященные доказательству, не слишком проясняют дело. Клейн здесь слишком много внимания уделяет аналитике в ущерб четкости геометрических формулировок и пространственных представлений читателя. Дадим поэтому критический разбор содержащихся далее рассуждений.

Пусть — параллельное проектирование трехмерного пространства R на плоскость проходящую через начало О (разумеется, направление проектирования не параллельно плоскости ). Далее, пусть -гомотетия с центром О и положительным коэффициентом. Тогда композиция представляет собой, можно сказать, аффинное изображение пространства R на плоскости Е с изменением масштаба (Клейн в качестве примера приводит фотографическое изображение предмета с достаточно большого расстояния). Это отображение и будем называть аксонометрией. Заметим теперь, что после «фотографирования» картинная плоскость Е может быть перемещена в некоторое новое положение (фотографию можно перенести в другое места). Если мы обозначим через Е новую картинную плоскость (в которую мы поместим нашу фотографию), то математически это можно сформулировать так: мы осуществляем некоторое движете f пространства R и образ плоскости Е при этом движении обозначаем через Е. Задача заключается в исследовании (аналитическом и геометрическом) отображения f о пространства R на плоскость Е, т. е. мы осуществляем фотографирование предмета с далекого расстояния (что практически совмещает в себе параллельное проектирование и изменение масштаба), а затем переносим фотографию а новое положение. (Возможно, Клейн называет «аксонометрией» каждое из отображений , но поскольку это вещи разные, мы будем для четкости называть аксонометрией только первое из них, а несколько неопределенный термин «аксонометрическое изображение», как бы характеризующий «фотографию», где бы она ни находилась, употреблять не будем.)

Теперь, условившись о терминологии, перейдем к точным формулировкам. Фактически речь идет о трех теоремах (первые две из которых Клейн не формулирует ясно).

Теорема L Всякое отображение пространства R в себя, представляющееся в виде композиции записывается в декартовых координатах (например, прямоугольных) в виде (1), причем но не все миноры второго порядка обращаются в нуль.

Теорема 2. Обратно, всякое отображение пространства R в себя, имеющее вид (1), где но не все миноры второго порядка обращаются в нуль, представляется в виде композиции

Заметим, что обойтись в теореме 2 без движения f нельзя, т. е., вообще говоря, отображение (1) (где но не все миноры второго порядка обращаются в нуль) не является аксонометрией, т. е. не представляется в виде . (Например, в таком виде не представляется отображение, описываемое формулами

Наконец, третья теорема (Польке — Шварца) формулируется Клейном ниже и используется при доказательстве теоремы 2, сформулированной здесь. Клейн не формулирует раздельно и четко теоремы 1 и 2; при этом на доказательстве более простой теоремы 1 он вначале не останавливается вовсе (об этом он кратко говорит на с. 132), а все внимание фактически уделяет теореме 2. Если же учесть, что Клейн рассматривает иногда одно пространство R, а иногда два пространства R и R, обращая внимание на сами координаты, а не на изображаемые ими точки, то становится понятной причина трудности изложения.

Приведем прежде всего доказательство теоремы 1. Итак, пусть — параллельное проектирование пространства R на плоскость Е. Если мы расположим оси координат косоугольной системы так, чтобы оси у были расположены в плоскости Е, а ось параллельна проектирующим прямым, то рассматриваемое параллельное проектирование будет описываться формулами

т. е. линейной подстановкой координат с определителем, равным нулю. Поэтому композиция в которой и h — невырожденные линейные преобразования, также описывается в этой (а потому и в любой другой) декартовой системе линейной подстановкой координат с нулевым определителем. Далее, так как матрица отображения имеет отличный от нуля минор второго порядка, то и матрица отображения записанного в любой декартовой системе координат, имеет хотя бы один отличный от нуля минор второго порядка. Этим и завершается доказательство теоремы 1.

Далее Клейн фактически приступает к доказательству сформулированной здесь теоремы 2. Прежде всего он устанавливает что при отображение (обозначим его через ), определяемое в некоторой системе координат формулами (1), обладает тем свойством, что образы всех точек пространства лежат в одной плоскости (2), причем (поскольку не все миноры второго порядка обращаются в нуль) эта плоскость однозначно определена соотношениями (2). Иначе говоря, образ пространства R при отображении представляет собой плоскость (а не прямую).

Не будем теперь обращать внимания на то, что Клейн переходит затем в другое пространство R, а будем продолжать вести рассуждения в том же пространстве R. Обозначим плоскость (2), т. е. образ пространства R при рассматриваемом отображении через Е. Далее, кроме исходной системы координат (в которой наше преобразование записывалось формулами ) — будем называть ее старой системой — введем еще одну, новую систему координат, у которой оси у лежат в плоскости Е (у Клейна новая система является прямоугольной, первые две оси составляют прямоугольную систему в плоскости , а третья перпендикулярна этой плоскости).

Тогда плоскость определяется в новой системе уравнением Условимся теперь записывать точки-прообразы в старой системе, а их образы — в новой. Иначе говоря, если — произвольная точка пространства R (координаты в старой системе), то ее образ записывается своими координатами в новой системе. В результате и получаются формулы (3). Таким образом, соотношения (3) представляют собой запись того же самого отображения но такую запись, при которой прообраз а и образ записываются своими координатами в разных системах.

Теперь (в разделе 1) Клейн доказывает, что прообраз любой точки представляет собой прямую, причем эти прямые (взятые для различных точек ) попарно параллельны. Далее перейдем к разделу 8. Здесь Клейн доказывает, что существует в пространстве такая картинная плоскость Е и на ней такая прямоугольная система координат , что проектирование пространства R на Е (параллельно указанным выше прямым), сопровождаемое гомотетией h с коэффициентом Л (т. е. отображение ), описывается как раз уравнениями (3), в которых — координаты проектируемой точки, — координаты ее образа (при отображении ) на плоскости Е.

Для доказательства теоремы 2 остается заметить, что если -такое движение пространства R, которое плоскость Е с имеющейся на ней системой координат у переводит покоординатно в плоскость Е с координатной системой у, то отображение совпадает с

Остается заметить, что в разделах 2—6 Клейн дает геометрическое описание отображения описываемого формулами (3), где по-прежнему — координаты произвольной точки в старой системе, а — координаты ее образа в новой системе (заметим, что плоскость, содержащую образы ) точек пространства R, мы в этом примечании обозначили через Е, а Клейн обозначает ее через Е). Результатом этого описания является, в частности, то, что единичные векторы, направленные по осям координат старой системы , переходят в тройку векторов (А), (В), (С) на плоскости Е, среди которых найдутся два линейно независимых. А в разделе 7 Клейн формулирует третью теорему (теорему Польке — Шварца), справедливость которой теперь непосредственно вытекает из доказанной выше теоремы 2. В самом деле, если заданы векторы (A), (В), (С), то можно написать соотношения (3), и теперь рассуждения, проведенные в разделе 8, доказывают существование требуемой картинной плоскости Е с прямоугольной системой координат на ней.

85. Если все миноры второго порядка равны нулю, но хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то соотношения (1) (или ) задают отображение где q — проектирование пространства на некоторую прямую с помощью параллельных проектирующих плоскостей, a h — гомотетия.

86. Или путем разрывов на нижних (задних) ребрах, или же путем изображения этих нижних («невидимых») ребер штриховыми линиями.

87. Это фундаментальное предложение аксонометрии именуется теперь теоремой Польке — Шварца.

88. Среди которых, однако, имеются два линейно независимых.

89. Учитывал, что плоскость QRS перпендикулярна прямой

90. Строго говоря, в следующей строке Клейн в промежуточном вычислении находит модуль числа а в конце использует то, что имеют одинаковые знаки,

91.. Переписав соотношение в виде

а затем заменив с помощью соотношения получаем для биквадратное уравнение, у которого свободный член и коэффициент при имеют (при противоположные знаки. Поэтому для получаем два возможных значения, одно из которых отрицательно (и не дает действительных решений), а второе положительно. Это и показывает, что определен однозначно с точностью до знака. Аналогично а Ф 0) число определяется однозначно с точностью до знака. Если же costx то, согласно (а), одно из чисел равно а для второго однозначно определяется из значение синуса; отсюда вытекает, что и при cosa числа определены однозначно с точностью до знака.

92. Клейн, таким образом, неявно предполагает здесь, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля (иначе нельзя говорить о «плоскости» ). Однако именно этот случай и представляет интерес, поскольку при формулы (1) задают аффинное преобразование, а этот случай был уже ранее подробно рассмотрен.

93. Где хотя бы одно из чисел ), t должно быть отличным от нуля (поскольку все четыре величины не могут одновременно обратиться в нуль).

94. Если I — какая-либо прямая, лежащая в плоскости Е, а — параллельная ей прямая, проходящая через точку О следовательно, лежащая в плоскости то произвольная точка М прямой имеет координаты где — координаты вектора, лежащего в плоскости и параллельного прямой т. Если теперь — фиксированная точка прямой — ее координаты, то точка Р, удовлетворяющая условию ОМ, принадлежит прямой I и имеет координаты Следовательно, точка Р имеет однородные координаты или, что то же самое, однородные координаты Если теперь то точка М уходит в бесконечность по прямой , а точка Р уходит в бесконечность по прямой I. При этом однородные координаты точки Р стремятся к значениям , ту, 0, а проектирующая прямая ОР приближается к прямой от. Это и дает повод считать, что несобственная («бесконечно удаленная») точка прямой I

В результате осуществляется взаимно однозначное соответствие между точками (собственными или несобственными) плоскости Е и прямыми связки О.

95. Здесь (и иногда далее) Клейн трактует формулы (2), (3) не как задающие проективное преобразование самого трехмерного пространства R, а как проективное отображение одного пространства Я на другое пространство R (в первом из которых введены однородные координаты , а во втором . См. примечание 76.

96. Существенно, отметить, что речь идет о взаимно однозначном преобразовании проективного пространства. Если же речь идет о пространстве (или плоскости), не пополненном несобственными элементами (т. е. об аффинном пространстве), то любая коллинеация в нем представляет собой аффинное преобразование. Более того, если отображение сохраняет свойство трех точек лежать на одной прямой, то оно является коллинеацией следовательно, аффинным преобразованием). Более подробно об этих вопросах можно прочитать во втором томе книги Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова, указанной в примечании 2.

97. Справедливость этого утверждения здесь доказывать не нужно, так как оно вытекает из рассуждения, проводимого в разделе б) на с. 140—142.

98. Таким образом, у Клейна намечена лишь идея доказательства. Аккуратное доказательство имеется, например, в книге Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова, указанной в примечании 2.

99. Это — частный случай общей точки зрения, провозглашенной Клейном в его эрлангенской программе. Именно, если задана некоторая группа преобразований (в данном случае — проективных) некоторого множества (в данном случае — проективного пространства), то она определяет некоторую геометрию (в данном случае — проективную геометрию), предмет которой составляет все, что сохраняется при этих преобразованиях.

109. Приведем еще некоторые примеры применения проективных преобразований, представляющие, например, интерес для школьной кружковой работы.

Теорема о полном четырехстороннике. Пусть — четыре прямые в проективной плоскости. Ли, Ли, — их точки пересечения и М, N, Р — точки пересечения прямых Ли, Тогда каждая из четверок гармоническая.

Для доказательства надо рассмотреть лишь первую четверку (две другие аналогичны). Далее, если (т. е. в случае параллелограмма) одна из точек М, N является серединой отрезка а другая бесконечно удаленная, откуда следует, что в этом случае четверка гармоническая. Но тогда из проективных соображений (позволяющих перевести параллелограмм в любой четырехсторонник) эта четверка будет гармонической и в любом случае.

Предложение Паппа. Если I и m — две различные прямые, -гри точки на. одной из них и три точки на другой, то точки пересечения прямых лежат на одной прямой.

Это предложение является частным случаем теоремы Паскаля (получающимся, если коническое сечение вырождается в пару прямых). Это предложение было высказано Паппом в III веке н. э.

Теорема Дезарга. Если треугольники расположены в плоскости так, что прямые пересекаются в одной точке S, то точки пересечения прямых расположены на одной прямой.

Доказательство теоремы Дезарга и обратной ей теоремы наиболее просто проводится, если рассмотреть сначала пространственный случай (треугольники не лежат в одной плоскости), а затем спроектировать получающуюся в этом случае конфигурацию на плоскость.

Из теоремы о полном четырехстороннике непосредственно вытекает, что если в аффинной плоскости задан отрезок АВ и указана его середина М, то через любую точку этой плоскости можно с помощью одной линейки провести прямую, параллельную АВ. (Линейка предполагается односторонней.) Обратно, если начерчены две параллельные прямые в аффинной плоскости, то отрезок, расположенный на одной из них, можно с помощью одной линейки разделить пополам. Из указанных выше теорем можно получить и ряд других построений, выполняемых с помощью одной линейки. В прошлом веке Я. Штейнер доказал, что если в плоскости начерчена окружность и указан ее центр, то с помощью одной линейки можно решить любую задачу на построение, разрешимую с помощью циркуля и линейки (разумеется, эти построения метрические, а не проективные и даже не аффинные).

Ряд других теорем и задач проективной геометрии можно найти в книгах, указанных в примечании 7.

101. Что, впрочем, само собой ясно, поскольку из симметричности определения относительно точек непосредственно следует, что рассматриваемое преобразование (инверсия) совпадает со своим обратным (подобно тому, как симметрия относительно прямой совпадает со своим обращением, вследствие чего инверсию нередко называют симметрией относительно окружности).

102. Лучше сказать, что знаменатель оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем, например, максимум модулей числителей, и потому хотя бы одна из координат становится бесконечно большой.

103. Плоскость, к которой указанным образом присоединена одна бесконечно удаленная точка, называется плоскостью Мёбиуса, а также инверсной, или круговой плоскостью. Она является «субстратом», на котором строится круговая геометрия, о которой Клейн пишет далее.

104. Клейн для простоты изложения опускает некоторые детали. Уравнение (5) можно переписать при в виде (умножив на АА)

откуда видно, что оно определяет сферу (не вырождающуюся в точку) при условии При это условие принимает вид т. е. означает, что хотя бы один из коэффициентов В, С, D отличен от нуля и, следовательно, уравнение (5) определяет плоскость (поскольку

Таким образом, уравнение (5) следует рассматривать лишь при выполнении дополнительного условия на коэффициенты, и при этом условии оно выражает либо сферу (если ), либо плоскость (если В преобразованном уравнении роли коэффициентов меняются, но условие остается выполненным (ввиду его симметричности относительно . Таким образом, если поверхность Р представляет собой плоскость или сферу, то ее образ при инверсии также представляет собой плоскость или сферу.

105. Если — концы штанг, имеющих длину то каждая из точек равноудалена от точек А и В, и потому точки лежат на одной прямой (на оси симметрии точек А и В). Далее, если Q — середина отрезка АВ (т. е. центр ромба), то

106. Достаточно доказать это для случая, когда рассматриваемые поверхности являются плоскостями (а именно, касательными плоскостями рассматриваемых поверхностен в их точке пересечения). В самом деле, так как преобразование выражается непрерывно дифференцируемыми (даже аналитическими) формулами, то касание поверхностей сохраняется при инверсии. Если же а и — две плоскости, — центры сфер являющихся их образами, то прямые являются нормалями плоскостей и потому угол между этими плоскостями равен Но так как являются радиусами сфер а, проведенными в точку О, то угол между касательными плоскостями сфер а, в точке О (а потому и в любой другой их общей точке) тоже равен

Аналогичная теорема о сохранении углов справедлива и для линий (это может быть выведено из сохранения углов между поверхностями, если рассмотреть три плоскости, первая из которых касается обеих линий-оригиналов, а две другие ортогональны первой плоскости и каждая касается одной из линий).

107. В отличие от аффинных и проективных преобразований, при рассказе о которых Клейн останавливался на некоторых приложениях, инверсия обрисована здесь кратко и без упоминания приложений. В элементарной геометрии инверсия является, в частности, удобным аппаратом для решения определенного круга задач на построение. Речь идет прежде всего о задачах, в которых требуется построить окружность (или прямую), подчиненную условиям следующего типа: а) проходить через данные точки; б) пересекать данные прямые или окружности под данными углами (в частности, касаться данных прямых или окружностей). Типичным примером является следующая задача: построить окружность, проходящую через заданную точку О и касающуюся двух заданных окружностей Если произвести инверсию с центром О, то искомая окружность перейдет в некоторую прямую а окружности а и Р — в некоторые (известные нам) окружности а и Следовательно, задача сведется к построению прямой касающейся двух заданных окружностей а и . Решив эту стандартнущ задачу (имеющую до четырех решений), мы затем из полученной прямой получим с помощью той же инверсии искомую окружность (тоже до четырех решений).

О применениях инверсии можно прочитать в книгах Ж. Адамара (примечание 6), И. М. Яглома {примечание 79), В. Г. Болтянского (примечание 7). См. также книгу: Адлер А. Теория геометрических построений. — М.: Учпедгиз, 1940.

108. Купец, торговец выражается на латинском языке словом Merkator, а на немецком — Kramer.

109. Известный французский геометр (1824—1897); его трактат, в котором он рассматривает отображения одной поверхности на другую и составление географических карт, вышел в 1881 г.

110. В современной терминологии отображение (скажем, одной поверхности на другую, о чем говорит Клейн), которое является взаимно однозначным и взаимно непрерывным, называется гомеоморфизмом, а область математики, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при любых гомеоморфизмах, называется топологией (вместо архаичного термина «анализ положения»). Название это было предложено Листингом в его исторически первой работе, специально посвященной проблемам топологии (1847 г.).

111. См. указанную в примечании 25 книгу В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича, где можно также прочитать о дальнейшем развитии этих идей.

112. Подробное изложение вопросов, затрагиваемых здесь и далее Клейном, имеется в книге, указанной в предыдущем примечании.

113. В настоящее время известно, что это предложение (теорема Эйлера о многогранниках) было известно также Декарту, который владел и общим его доказательством. Эйлер впоследствии независимо сделал это открытие. В связи с этим сейчас нередко говорят о теореме Декарта — Эйлера и о характеристике Декарта — Эйлера (вместо ранее применявшегося термина «эйлерова характеристика»).

114. См. ниже общее уравнение (5).

115. О роли комплексных чисел в геометрии см. книги, указанные в примечаниях 2 и 26.

116. В частности, полезно заметить, что тригонометрические («круговые») функции переходят при замене гиперболические функции — (это непосредственно вытекает из формул Эйлера),причем геометрическая связь тригонометрических функций с окружностью позволяет проследить аналогичную геометрическую связь гиперболических функций с равносторонней гиперболой.

117. Иначе говоря, при последнее соотношение принимает вид т. е. определяет точки пересечения рассматриваемой линии второго порядка с осью

118. Иначе говоря, если (т. е. взята бесконечно удаленная точка на прямой с угловым коэффициентом k), то из уравнения полярной системы мы получаем

т. е. соответствующая бесконечно удаленная точка лежит на перпендикулярной прямой.

119. Говоря о том, что точка Р «мнимая», Клейн имеет в виду, что ее комплексные координаты не могут быть домножением на отличный от нуля множитель превращены в три действительных числа.

Из этого, в частности, следует, что в выписанной ниже формуле (I) хотя бы одно из чисел , отлично от нуля, и точно так же хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

120. Остановимся на этом вопросе более подробно. Пусть выбрана единица измерения длин, — скажем, отрезок у которого заданы координаты концов Тогда длиной произвольного отрезка соединяющего точки , называется число где

В частности, если то как и указано в тексте Клейна. Заметим теперь, что при параллельных переносах, поворотах и сийметрии относительно начала величины не изменяются. При гомотетии же с коэффициентом X обе величины умножаются на однако отношение не изменяется и при этих преобразованиях. Иначе говоря, если определить длину формулой то она будет инвариантной при всех преобразованиях отмеченного вида, т. е. будет инвариантной при всех преобразованиях главной группы, которую Клейн описывает ниже. Однако такой подход означает, что длина определяется не самим отрезком а парой причем при преобразовании надо каждый раз брать длину относительно новой единицы — той, в которую переходит отрезок при этом преобразовании. Сама же величина I не остается инвариантной при всех преобразованиях главной группы, т. е., строго говоря, не является объектом той метрической геометрии, о которой говорит Клейн.

Если же рассмотреть только те преобразования, которые являются композициями параллельных переносов, поворотов и симметрий (т. е. преобразования, составляющие группу движений D, о которой речь будет идти в дальнейших примечаниях), то относительно этой группы обе величины инвариантны. Следовательно, взяв с самого начала т. е. определив длину формулой мы получим величину, инвариантную относительно всех преобразований группы движений D, которая и принимается в этой геометрии за длину отрезка. Это показывает, что геометрия группы движений отличается от геометрии главной группы. О дальнейших различиях будет сказано ниже.

121. Здесь рассуждения Клейна скорее имеют наводящий характер, нежели точный математический смысл. В особенности это относится к сказанному в п. 6). В самом деле, когда в разделе 2) Клейн говорит о метрической геометрии, он имеет в виду, что рассматривается трехмерное арифметическое пространство точками которого являются всевозможные тройки действительных чисел, и в этом пространстве рассматривается некоторое множество Р преобразований, а именно, преобразований, которые представляются в виде композиций преобразований, принадлежащих основным четырем типам.

Этими основными четырьмя типами преобразований являются: 1) параллельные переносы; 2) повороты вокруг нулевой точки (т. е. такие преобразования, при которых координаты точки-образа получаются из координат точки-прообраза линейной однородной подстановкой, коэффициенты которой образуют ортогональную матрицу с определителем симметрия относительно нулевой точки; 4) гомотетии с положительным коэффициентом и с центром в нулевой точке. Множеству Р как раз и принадлежат все преобразования, представляющиеся в виде композиции преобразований этих четырех типов. Множество Р представляет собой группу преобразований (о понятии группы Клейн пишет чуть ниже), которую условимся называть группой подобий пространства Клейн называет ее ниже «главной группой» и обозначает через Теперь все те свойства геометрических фигур (т. е. подмножеств пространства ), которые остаются инвариантными, не изменяются при всех преобразованиях, принадлежащих группе Р, и составляют предмет изучения той геометрии, которую Клейн называет метрической.

Это построение укладывается в следующую общую схему. Имеется некоторое основное множество М, элементы которого именуются точками, к задана некоторая группа О преобразований множества М (каждое рассматриваемое преобразование является взаимно однозначным отображением множествам на себя; композиция преобразований и обратное преобразование имеют очевидный смысл). Теперь все те свойства геометрических фигур (т. е. подмножеств основного множества М), которые инвариантны при всех преобразованиях, принадлежащих группе О, составляют предмет изучения геометрии, определяемой на множестве М группой G. Это и есть в абстрактном виде та основная идея, которая была провозглашена Клейном в его знаменитой эрлангенской программе.

В случае метрической геометрии, рассматриваемой Клейном в п. 2), основным множеством М является пространство а группой преобразований этого основного множества является группа подобий Р. Для рассмотренной в п. 3) аффинной геометрии основным множеством М является то же пространство но группа преобразований (обозначим ее через А) является более широкой, чем Р. Преобразования, составляющие группу А (т. е. аффинные преобразования), являются композициями параллельных переносов и преобразований, описываемых любыми линейными подстановками с невырожденными матрицами. Таким образом, аффинная группа А содержит группу подобий Р, и потому всякое свойство, инвариантное относительно всех преобразований группы А, сохраняется, в частности, при всех преобразованиях группы Р, но, вообще говоря, не наоборот. Иначе говоря, всякая теорема аффинной геометрии сохраняется и в метрической геометрии, но многие метрические свойства перестают иметь смысл при переходе к аффинной геометрии, что и отмечает Клейн в п. 3).

Если же перейти к проективной геометрии, рассматриваемой Клейном в п. 4), то здесь прежде всего следует отметить, что изменяется основное множество М. В самом деле, дробно-линейные преобразования не являются взаимно однозначными на пространстве Для обеспечения взаимной однозначности проективных преобразований приходится в качестве основного множества М брать уже не а трехмерное (действительное) проективное пространство, в котором точкой является уже не тройка а четверка действительных чисел, определенных с точностью до общего множителя.

«Геометрия обратных радиусов», о которой пишет Клейн в разделе 5), вновь требует для корректного ее построения изменения основного множества М. Требуемое здесь основное множество М может быть получено из добавлением одной «бесконечно удаленной» точки (оно гомеоморфно трехмерной сфере, но не гомеоморфно ни трехмерному проективному пространству)

Таким образом, геометрии, упоминаемые Клейном в разделах 3), 4), 5), определяются на разных основных множествах, и сравнение их между собой (и с метрической геометрией) может быть лишь условным. Например, из всех — равноправных между собой — плоскостей трехмерного проективного пространства нужно выделить одну и условиться считать ее «бесконечно удаленной»: лишь при этом условии можно будет сравнивать проективную геометрию с аффинной.

С этой общей точки зрения те соображения о топологии, которые высказываются Клейном в п. 6), вряд ли допускают четкое оформление в рамках идей эрлангенской программы. Может показаться естественным рассматривать всевозможные гомеоморфные отображения пространства на себя (они образуют группу) и попытаться определить топологические свойства фигур как такие, которые сохраняются при любых указанных преобразованиях. Однако этот подход дает в действительности не топологические, а так называемые изотопические свойства фигур. Например, неперекрученная лента (боковая поверхность цилиндра, высота которого меньше радиуса основания) и дважды перекрученная лента (ее можно получить, разрезав предыдущую ленту поперек, дважды перекрутив и снова склеив), как легко видеть, гомеоморфны, однако изотопными они не являются, т. е. никаким гомеоморфным отображением пространства на себя не удастся неперекрученную ленту перевести в дважды перекрученную. Это показывает, что при рассмотрении топологических свойств фигур приходиться отказаться от рассмотрения какого-либо «основного множества» и какой-либо его группы преобразований. Фигуры, топологическими свойствами которых мы интересуемся, должны рассматриваться сами по себе (а не как вложенные в какое-то единое «основное множество»), и это делает топологические свойства не укладывающимися в рамки клейновского группового подхода.

(Впрочем, если размерность фигуры существенно меньше размерности объемлющего его евклидова пространства, то понятие гомеоморфизма сливается с понятием изотопии; например, заузленная и незаузленная замкнутая линия в которые гомеоморфны между собой, являются неизотопными в однако в R две замкнутые линии всегда изотопны, но эти соображения не уничтожают, а усложняют простое само по себе понятие гомеоморфизма.)

122. Рассмотрение «главной группы» (которая в примечании 121 названа группой подобий и обозначена через Р) имеет одну тонкость, которую Клейн оставляет без внимания. Для того чтобы ее пояснить, введем еще в рассмотрение группу движений D пространства состоящую из всех преобразований, представляющихся в виде композиции параллельных переносов, поворотов и симметрий.

Группа D содержится в «главной группе» Р, но отличается от нее тем, что не содержит гомотетий. Теперь, согласно идеям клейновской эрлангенской программы, можно рассматривать в геометрию группы движений D и геометрию группы подобий Р (или главной группы, как ее называет Клейн). Иначе говоря, можно рассматривать все те свойства, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях группы D (они составляют предмет геометрии группы движений), а можно рассматривать все те свойства, которые инвариантны при всех преобразованиях группы Р (т. е. относятся к геометрии группы подобий). Обе эти геометрии очень близки, но между ними имеются и различия. Например, в геометрии подобий любые два отрезка конгруэнтны, т. е. существует в группе Р преобразование, переводящее первый из любых двух заданных отрезков во второй. В «связи с этим, как отмечалось в примечании 120, в геометрии группы подобий отсутствует понятие длины отрезка, т. е. выражение составленное из координат двух заданных точек не является инвариантом в геометрии группы подобий (оно меняется при гомотетиях). В геометрии же группы D выражение I инвариантно, и можно говорить о длине отрезка, о конгруэнтных и неконгруэнтных отрезках и т. д. Вместе с тем отношение длин двух отрезков имеет смысл не только в геометрии группы движений, но и в геометрии группы подобий (поскольку хотя длина l отрезка изменяется в результате преобразований подобия, но отношение длин двух отрезков сохраняется). Иначе говоря, если — две точки, по координатам которых вычислено указанное выше выражение, и если — две другие точки, по координатам которых вычислено аналогичным образам выражение V, то отношение 1/1 инвариантно при всех преобразованиях группы Р.

Тот факт, что в геометрии группы подобий (в геометрии главной группы терминологии Клейна) можно говорить об «отношении длин» двух отрезков, приводит к мнению (достаточно распространенному) о том, что естественное осмысление евклидовой геометрии состоит именно, в понимании ее как геометрии группы Р (главной группы), а рассмотрение геометрии группы движений малосущественно и не соответствует истинному пониманию смысла евклидовой геометрии. Это мнение можно пояснить несколькими простыми примерами. В силу инвариантности отношения длин в геометрии группы подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т. е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, полностью сохраняет свое значение в геометрии группы подобий. Сохраняет свое значение и теорема Пифагора (в форме где — отношения длин катетов к длине гипотенузы). Сфера с центром О, проходящая через точку А, определяется в геометрии группы подобий как множество всех таких точек М, что отношение расстояний равно 1, и т. п.

Из этих примеров становится понятным, что метрическая геометрия (по терминология Клейна), т. е. геометрия группы подобий Р, описывает все богатство теорем элементарной евклидовой геометрии.! Именно поэтому Клейн придает этой геометрии главенствующее значение, а группу Р называет «главной группой. Рассмотрение же геометрии определяемой группой движений может показаться излишним и не дающим: ничего нового.

Однако такая точка зрения неправильна. В действительности геометрия группы движений богаче, чем геометрия группы подобий. Имеются содержательные теоремы, которые имеют место в j геометрии группы движений, но разрушаются, перестают быть справедливыми при переходе от D к большей группе Р (подобно тому, как существуют содержательные теоремы метрической геометрии, разрушающиеся при переходе от группы Р к большей группе А — группе всех аффинных преобразований. Чтобы: привести пример теоремы, отличающей геометрию группы движений от геометрии группы подобий, ограничимся для простоты рассмотрением геометрии на плоскости. Условимся называть плоскую связную фигуру линией, если она не содержит никакого круга (мы ограничимся рассмотрением связных линий, т. е. как бы состоящих из одного куска — это понятие, относящееся к области топологии, мы здесь не уточняем). Связную линию I будем называть транзитивной, если для любых двух точек А, В этой линии найдется преобразование f (принадлежащее группе преобразований, определяющей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию I в себя, а точку А — в точку В. Транзитивная линия может как бы «скользить по себе» в рамках рассматриваемой геометрии. В евклидовой геометрии существуют только два типа связных линий на плоскости, которые могут «скользить по себе»: это прямые и окружности. И это может быть строго оформлено в виде теоремы, которая справедлива в геометрии группы движений: плоская связная линия в том и только в том случае является транзитивной, если она представляет собой прямую или окружность. Однако эта теорема разрушается, перестает быть справедливой, если мы перейдем к клейновской метрической геометрии, т. е. к геометрии группы подобий Р. В геометрии группы подобий существуют связные плоские линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут в рамках этой геометрии «скользить по себе», т. е. являются транзитивными. Такими линиями в геометрии группы подобий являются логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах (на плоскости) уравнением В самом деле, композиция поворота на угол и гомотетии с центром в нулевой точке и коэффициентом (т. е. ), являющаяся преобразованием, принадлежащим группе подобий Р, переводит, как легко видеть, рассматриваемую логарифмическую спираль в себя. Таким образом, естественное с точки зрения евклидовой геометрии представление о том, что связными плоскими линиями, которые могут скользить по себе, являются лишь прямые и окружности, имеет силу а геометрии группы движений, но не в геометрии группы подобий. Клейновская метрическая геометрия в этом вопросе отходит от привычных представлений евклидовой геометрии.

Таким: образом, то, что Клейн совсем не уделяет внимания геометрии группы движений, а ограничивает «метрическую геометрию» рамками геометрии группы подобий, не во всем соответствует «элементарно-геометрическим» представлениям.

123. В примечании 121 была отмечена недостаточность такого подхода в отношении топологии. В современных представлениях речь идет не о группе всех гомеоморфных отображений некоторого пространства М на себя, а о категории всех топологических пространств и их непрерывных отображений. Наиболее существенные топологические свойства описываются функторами; например, важнейшее значение имеют гомологические функторы (см. Стин род Н., Эйленберг С. Э. Основания алгебраической топологии.-М.: Физматгиз, 1958).

124. Клейн здесь слишком категоричен. Речь идет, конечно, не о всех возможных геометриях, а о геометриях, определяемых группами преобразований. В этот класс геометрий не входят общая. риманова геометрия, финслерова геометрия и другие понимания пространства, играющие важнейшую роль в современной математике и физике.

125. В примечании 121 эта клейновская идея выражена несколько более абстрактным и общим образом. Тот факт, что Клейн здесь рассматривает только такие группы преобразований, которые содержат «главную группу», несколько сужает общность рассмотрения геометрий, определяемых группами преобразований (но зато приближает рассматриваемые геометрии к евклидовой). Следует, однако, иметь в виду, что аффинная группа не включается в проективную однозначным и естественным образом, а получаемое вложение зависит от того, какую плоскость трехмерного проективного пространства условиться считать бесконечно удаленной. Тем не менее, несмотря на условность, это вложение позволяет проследить некоторые связи между аффинной и проективной геометриями.

126. В настоящее время указываемый Клейном принцип прослежен в своей максимальной общности и применимости и играет важную роль в геометрии и физике. О роли геометрических преобразований в построении различных геометрий и их роли в физике можно прочитать в книгах: Яглом, И. М. Геометрические преобразования. — Ч. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: Гостехиздат, 1955. — Ч. 2: Линейные и круговые преобразования. — М.: Гостехиздат, 1956; Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. — М.: Наука, 1969; более глубокое рассмотрение этого вопроса имеется, например, в книге Б. А. Дубровина, С. П. Новикова и А. Т. Фоменко, указаннойв примечании 26. См. также Визгин В. П. Эрлангенская программа и физика. — М.: Наука, 1975.

127. В самом деле, если S — сфера с центром в точке пересечения перпендикулярных друг другу прямой I и плоскости а, то окружность а обладает тем свойством, что прямые, параллельные I и проходящие через точки окружности К, являются касательными к сфере S. Отсюда следует, что точка Р в которой пересекаются все эти касательные, является полюсом плоскости а относительно сферы S. Пересекая все эти множества бесконечно удаленной плоскостью получаем, что есть полюс прямой а относительно конического сечения , т. е. относительно окружности сфер.

128. Подробности имеются, например, в книге: Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. — М.: Гостехиздат 1948.

См. также Клейн Ф, Лекции о развитии математики в XIX столетии.-М.; Л.: ОНТИ, 1937; Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра - Т. 2. — М.: ИЛ, 1963.

129. Основная терминология теории инвариантов (инвариант, ковариант, дискриминант и др.) была введена Сильвестром.

130. Надо рассмотреть определитель четвертого порядка, в первой и третьей строках которого стоят а во второй и четвертой а затем разложить этот определитель (очевидно, равный нулю) в сумму произведений соответствующих миноров второго порядка из первой и последней пары строк. Аналогичный прием был применен Клейном на с. 51.

131. Если к уравнениям окружности сфер

присоединить уравнение плоскости

и решать полученную систему соотношений относительно однородных координат (т. е. искать точки пересечения окружности сфер с указанной плоскостью), то после исключения неизвестных мы получим одно квадратное уравнение, дискриминант которого отличается лишь множителем от Таким образом, равенство является условием того, что плоскость имеет с окружностью сфер две совпадающие точки пересечения, т. е. касается ее.

132. Иначе говоря, речь идет о формулах аффинной геометрии, получающейся, если за бесконечно удаленную принять не плоскость а другую плоскость

133. Компоненты этого антисимметрического тензора имеют

Коэффициенты 1, стоящие на главной диагонали, характеризуют отдельный вектор, который Клейн здесь добавляет, чтобы получающиеся формулы описывали бесконечно малый поворот. Таким образом, соотношения (8) можно записать в виде

где под понимаются , под величины — компоненты антисимметрического тензора Вообще, в силу определения антисимметрического тензора его диагональные компоненты равны нулю.

134. См. в связи с этим примечание 122.

135. Здесь следует говорить не о проективной, а об аффинной геометрии, поскольку выше Клейн допустил существование двух прямых на плоскости, не имеющих общих точек, а также двух непересекающихся плоскостей; кроме того, аксиомы понятия «между» также относятся к аффинной, а не к проективной геометрии. Видимо, Клейн говорит о проективной геометрии, имея в виду последующее присоединение несобственных точек.

136. Здесь Клейн впервые говорят не только о той метрической геометрии, которая определяется главной группой, но также о геометрий конгруэнтности, определяемой группой движений. В примечании 122 уже отмечалось, что эти геометрия отличаются друг от друга, например, отсутствием (во второй из них) плоских связных транзитивных линий, отличных от прямых и окружностей. Клейн отмечает здесь еще одно отличие: замкнутость (лучше сказать ограниченность) любой траектории любого движения, имеющего неподвижную точку (траекторией точки а относительно движения называется минимальное множество, содержащее точку а и переходящее в себя при каждом из движений ). Впрочем, наиболее простым отличием является наличие двух неконгруэнтных отрезков. Пожалуй, с наглядно-геометрической точки зрения наиболее убедительным отличием является теорема о транзитивных линиях, упомянутая в примечании 122.

137. Таким образом, Клейн фактически причисляет к первоначальным, неопределяемым понятиям, кроме точек и прямых, еще и движения; к аксиомам, описывающим свойства движений, относятся требования о том, что каждое движение представляет собой взаимно однозначное (биективное) отображение плоскости на себя; о том, что движение переводит прямые снова в прямые; о том, что справедлива сформулированная Клейном аксиома подвижности плоскости (рис. 104). Эта аксиома подвижности и является детализацией того, что существует движений: при фиксированных А и а выбор точки А обладает двумя «степенями свободы» или содержит возможностей (так как положение А определяется двумя координатами), а выбор луча а обладает еще одной степенью свободы, т. е. содержит возможностей (значений угла от 0 до ). Заметим, что данная Клейном формулировка аксиомы подвижности означает, что рассматриваются лишь движения, сохраняющие ориентацию (иначе существовали бы ровно два движения, переводящих А, а соответственно в Л, а, одно из которых сохраняет, а другое меняет ориентацию). Иначе говоря, если фигура F не обладает ни одной осью симметрии, a F — фигура, симметричная F относительно некоторой оси, то F и F не считаются конгруэнтными в рассматриваемой Клейном модели евклидовой планиметрии.

138. Это не есть новая аксиома о движениях, а лишь частный случай аксиомы подвижности: точка А переходит в Л, а луч а с началом А, содержащий точку А, переходит в тот луч а с началом А, который расположен на прямой АА и не содержит точку А (заметим, что определение луча и теорема о разбиении прямой на два луча с началом в данной точке А регламентируются аксиомами расположения).

139. Эти свойства параллельных переносов представляют собой новые аксиомы. Заметим, что в геометрии Лобачевского эти свойства параллельных переносов не выполняются (хотя аксиомы соединения, аксиомы расположения и ранее сформулированные свойства движений, включая аксиому подвижности, имеют место).

140. Это — одна из форм аксиомы Архимеда, или аксиомы измерения (уточнение наглядного выражения «достичь либо перешагнуть» осуществляется очевидным образом).

141. Это представление о «непрерывном» осуществлении параллельного переноса может быть математически строго уточнено, но пока это можно рассматривать лишь как наглядное пояснение, а траекторией параллельного переноса считать просто прямую, соединяющую точку А и ее образ А.

142. Разговор о траектории как о результате «непрерывного» выполнения параллельного переноса, возможно, удобен в целях наглядности, но в отношении строгости может только запутать рассуждения и сделать их неубедительными. Четкое доказательство можно провести, например, так. Пусть и h — две траектории (т. е. h — прямая, проходящая через некоторую точку В и ее образ В, и аналогично для h). Если U и 12 имеют общую точку А, то (поскольку, согласно одной из аксиом Клейка, каждая траектория переходит в себя) точка А должна, во-первых, переходить в точку принадлежащую траектории U, и, во-вторых (поскольку ), точка А должна переходить в некоторую точку принадлежащую прямой 1%. Но поскольку образ точки А определен однозначно, мы имеем имеют, кроме А, еще одну общую точку Следовательно, прямые и h совпадают. Итак, две траектории либо не имеют общих точек, либо (если они имеют хотя бы одну общую ) непременно совпадают.

143. Клейн обозначает композицию преобразований точкой; здесь использовано современное обозначение (кружок),

144. Согласно сформулированной выше аксиоме Архимеда.

145. Обыкновенно эту аксиому называют аксиомой Паша, который ввел ее в своих «Лекциях по новой геометрии» 1882 г. В данном случае эта аксиома применяется к треугольнику 012 и к прямой, являющейся траекторией параллельного переноса S, проходящей через точку 1 (эта траектория не может пересечь прямую 1 2, так как две траектории одного параллельного переноса не пересекаются, и, следовательно, она должна пересечь отрезок оси ).

146. Здесь и далее изложение Клейна несколько схематично. Однако он и не преследует цель дать скрупулезный вывод всех теорем геометрии из вводимых аксиом, а имеет в виду лишь обрисовать общую схему обоснования геометрии с использованием групп преобразований.

147. Точнее, одной из аксиом, описывающих свойства движений (см. примечание 137).

148. Следующие далее соображения не так просто реализовать в виде четко проведенных рассуждений аксиоматического характера. Поэтому сказанное следует рассматривать лишь как очерк дальнейшего аналитического построения геометрии.

149. Клейн записывает преобразования слева направо в той последовательности, в которой они выполняются. Однако мы в этом издании книги следуем принятой теперь традиции, используя обозначение композиции (кружок) и записывая преобразований справа налево. Например, для любой точки А имеем

150. Высказанные соображения о переходе одних осей в другие означают, в частности, что точка А (1, О) переходит в А (0, 1), а точка В (0, 1) переходит в отсюда однозначно определяются коэффициенты преобразования (1). Напомним, что — координаты произвольной точки, — координаты ее образа в одной и той же системе координат.

151. Иными словами, функции определяются с помощью их рядов Тейлора:

(или, что то же самое, определяются как решения дифференциального уравнения с начальными условиями ) для функции для функции Число я определяется теперь как наименьший положительный корень уравнения (или уравнения Геометрический смысл функций выяснится после того, как будут найдены аналитические формулы поворота (см. ниже соотношения ).

152. Сейчас эту шкалу принято называть радианной.

153. Из соотношений - (которые получаются, например, почленным дифференцированием рядов для ) мы находим непосредственно, что . Остается заметить, что и потому стоящая в правой части константа равна единице, т. е. для любого

154. Если иметь в виду острый (или прямой) угол между двумя прямыми, то следует правые части взять по модулю.

155. Более подробно о понятии площади в элементарной геометрии (и о тех аксиомах и принципах, на которых оно основывается) можно прочитать в указанной в примечании 10 статье В. А. Рохлина, а также в книгах: Болтянский В. Г. Элементарная геометрия. — М.: Просвещение, 1985; Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977.

156. Этот способ вывода площади параллелограмма имеет дефект: для высокого узкого параллелограмма высота падает не на основание, а вне его, так что «отрезать» треугольник от параллелограмма не удается. Однако дополнение и параллелограмма, и прямоугольника одинаковыми треугольниками позволяет получить одну и ту же трапецию (рис. 118), что и дает не имеющий дефектов вывод формулы площади параллелограмма.

157. В которой правую часть следует взять по модулю (или же говорить об ориентированной площади, о чем Клейн пишет в начале этого тома).

158. Клейн здесь очень краток. Подробнее о понятии длины кривой в частности, о его аксиоматическом построении) можно прочитать в книгах, указанных в примечании 10, и в статье: Болтянский В. Г. Длина кривой и площадь поверхности// Энциклопедия элементарной математики. — Книга V: Геометрия. — М.: Наука, 1966. — С. 88—144.

159. В предыдущем изложении Клейн считал «движениями» только те преобразования, которые сохраняют расстояния и сохраняют ориентацию. В соответствии с этим он считал конгруэнтными Только фигуры, которые переводятся одна в другую именно таким движением (сохраняющим ориентацию). Здесь же он называет конгруэнтными фигуры, которые переводятся одна в другую преобразованием, лишь сохраняющим расстояния (т. е. не делает различия между конгруэнтными в прежнем смысле и симметричными фигурами).

160. И обладает тем свойством, что точка С попадает в положение, расположенное по ту же сторону прямой АВ, что и точка С. Из этого ясно, что к числу движений здесь следует причислять зеркальные симметрии.

161. Пятый постулат Евклида не совпадает дословно с указанной выше аксиомой параллельности, но представляет собой предложение, эквивалентное ей. Об этом евклидовом постулате Клейн говорит на с. 302 (см. рис. 126 и относящийся к нему текст).

162. То есть не имеющими границы, края. Иначе говоря, речь идет о замкнутом (не имеющем краев) двумерном многообразии. Какую бы точку А на таком многообразии мы ни взяли, у нее существует окрестность, гомеоморфная кругу, внутри которого находится точка А. Поэтому из точки А можно смещаться по этому многообразию в любую сторону..

163. Смысл этой фразы Клейна лучше всего пояснить при помощи функции Лобачевского. Пусть в плоскости Лобачевского из точки О, находящейся на расстоянии h от прямой g, проведены два луча параллельные g (т. е. те предельные положения луча ОР, которые получаются, когда точка Р удаляется по прямой g в ту или в другую сторону в бесконечность; см. рис. 122 на с. 269. Далее, пусть ON — перпендикуляр к прямой g. Угол ) в геометрии Лобачевского (или «НГ I», как ее именует Клейн) является острым; величина этого угла называется функцией Лобачевского и обозначается через Как доказал Лобачевский, она выражается формулой

где R — некоторая положительная постоянная (это и есть та произвольная постоянная, которую содержит «неевклидова геометрия первого рода»; Клейн вводит аналогичную постоянную на с. 276— 278 из несколько иных соображений). Следовательно, тот угол между двумя параллельными который не содержит прямой g, равен Из этой формулы видно, что при имеем

Теперь ясно, что если параметр R (характеризующий единицы измерения длин) будет в сравнении с «расстоянием до Сириуса», о котором пишет Клейн, очень велик, т. е. с точки зрения доступных нам измерений величина ничтожно мала, то угол между двумя параллельными к прямой g будет (если точка О находится в пределах области наблюдаемости) ничтожно мал, и потому отличие геометрии Лобачевского от евклидовой будет в этой области неощутимым и, как пишет Клейн, только по мере удаления точки О от прямой g угол будет приобретать все более заметную величину более того, при

164. См. Клейн Ф. Высшая геометрия. — М.: Гостехиздат, 1939.

165. Клейн кратко упоминает о том, что геометрия Лобачевского (НГ 1) или Римана (НГ II) может быть включена в групповую схему, намеченную его эрлангенской программой. Поясним более подробно на примере геометрии Лобачевского, как это осуществляется (для случая геометрии Римана это делается аналогично с заменой действительного конического сечения мнимым).

Обозначим через К действительное коническое сечение Крис. 124 на с. трактуемое как множество всех бесконечно удаленных элементов в той модели геометрии Лобачевского, которую рассматривает Клейн (ее называют моделью Кэли—Клейна). Всякое движение плоскости Лобачевского должно, во-первых, переводить внутреннюю область этого конического сечения («область операций гиперболической геометрии») в себя и, во-вторых, переводить прямые (точнее, хорды этих прямых, высекаемые линией К) снова в прямые. Отсюда становится понятным, что в этой модели движения плоскости Лобачевского изображаются проективными преобразованиями, переводящими коническое сечение К в себя. Следовательно, если рассмотреть множество G всех таких преобразований (оно представляет собой группу) и, следуя (Клейну, рассмотреть геометрию, определяемую (на множестве М, представляющем собой внутреннюю область линии К) этой группой, то можно ожидать, что мы как раз получим таким образом гиперболическую геометрию (на плоскости). Это в самом деле подтверждается; сказанное позволяет построить модель Кэли — [Клейна гиперболической геометрии в рамках проективной геометрии. Ведь G есть некоторая подгруппа всей проективной группы, это еще раз подтверждает принцип Кэли о том, что «проективная геометрия — это вся геометрия».

166. Например, в геометрии Лобачевского можно определить параллельный перенос (или, лучше сказать, сдвиг вдоль прямой): это есть движение, которое «смещает» некоторую прямую I по себе, переводя одну точку А прямой I в другую ее точку. Однако траекториями, переходящими в себя при всевозможных сдвигах вдоль прямой I, будут не прямые, а эквидистанты, каждая из которых представляет собой множество всех точек, находящихся по одну сторону от прямой I на одном и том же расстоянии от нее.

167. Клейн не упоминает еще об одном важном применении геометрии Лобачевского — в специальной теории относительности (которое было предложено Германом Минковским уже после прочтения Клейном этого курса лекций). Рассматривается четырехмерное псевдоевклидово пространство, в котором расстояние от точки до начала координат определяются формулой

(аналогично определяется расстояние между двумя точками). Таким образом, расстояние между двумя различными точками в этом пространстве может быть действительным, нулевым или чисто мнимым. Множество всех преобразований, сохраняющих расстояние между двумя точками в этом псевдоевклидовом пространстве, представляет собой группу; геометрия этой группы и есть специальная теория относительности (в ее кинематической части). Именно, переменная трактуется как время, — пространственные координаты. Далее, прямые линия трактуются как равномерные движения точек, причем времениподобные прямые (для которых расстояние между любыми двумя их точками действительно) представляют собой движения с досветовыми скоростями (заметим, что в этой модели скорость света с привимается по величине, равной 1, — иначе нужно было бы определять расстояние формулой .

Далее, изотропные прямые (для которых любые две их точки имеют нулевое расстояние) являются траекториями световых частиц. Все световые траектории, проходящие через точку О, образуют световой конус, описываемый уравнением Прямые, соответствующие досветовым движениям, проходят внутри этого конуса. Наконец, пространственноподобные прямые (для которых расстояние между каждыми двумя их точками является чисто мнимым) соответствуют траекториям сверхсветовых частиц («тахионов», с возможностью рассмотрения которых начинают заигрывать физики).

Группа, определяющая эту геометрию (группа Лоренца), оставляет инвариантным световой конус (если начало координат неподвижно), и это определяет связь с геометрией Лобачевского и клейновским подходом к ней. В самом деле, связка прямых в этом пространстве, проходящих через начало, задает трехмерное проективное пространство, а линейные преобразования, оставляющие неизменной квадратичную форму преобразуют внутренность светового конуса (т. е. внутренность некоторой поверхности второго порядка — в проективной трактовке) в себя. Это в точности соответствует трехмерной модели Кэли — Клейна гиперболической геометрии. Из этого становится понятным, почему формулы геометрии Лобачевского использовались, например, при расчете серпуховского синхрофазотрона. Трактовка гиперболической геометрии в рамках псевдоевклидова пространства подробно и последовательно проведена в интересной книге: Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1956. О дальнейших вопросах геометрии псевдоевклидовых пространств можно прочитать в интересной статье: Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии//Энциклопедия элементарной математики. — Книга V: Геометрия. — М.: Наука, 1966. — С. 393—475.

168. Русский перевод: Гильберт Д. Основания геометрии. — М.: Гостехиздат, 1948.

169. При всей фундаментальности критических оценок Клейна, основанных на его глубочайшем понимании математики и огромной эрудированности, в его мнениях, разумеется, помимо объективных характеристик есть и субъективные мотивы. Можно соглашаться или не соглашаться с его оценками и трактовками творчества Евклида, Лобачевского, Гильберта и других великих математиков и отмечать расхождения его позиции с общепринятой, но вряд ли целесообразно здесь отмечать эти несогласия — представляют интерес именно взгляды самого Клейна как одного из выдающихся математиков-классиков. Что же касается современных взглядов на историю математики и роль крупнейших ученых с диалектико-математических позиций, следует обратиться, например, к фундаментальным книгам К. А. Рыбникова «История математики».

170. Итак, в этом месте Клейн заканчивает изложение математической трактовки вопроса об аксиоматике и обосновании геометрии. Он отмечает два основных направления построения аксиоматики геометрии.

Первое из них «сходит из понятия движения, второе — из понятия конгруэнтности. Существуют и многие другие подходы к аксиоматизации евклидовой геометрии, связанные с работами Пиери, В. Ф. Кагана, Биркгофа, Вейля и других математиков. Представляется особенно важным отметить вейлевский подход (о котором здесь Клейн не упоминает, поскольку его лекции были прочитаны в 1908 г., а лекции Вейля, в которых предлагает свою аксиоматику, были читаны им в 1917 г. и вошли в его знаменитую книгу «Пространство, время, материя», изданную в 1918 г.).

Если гильбертовская аксиоматика направлена в историческое прошлое геометрии и преследует цель дать математически корректное обоснование геометрии в духе Евклида (с выходами неевклидову, неархимедову геометрию и др.); если, далее, аксиоматика, базирующаяся на свойствах движений (Клейн, Шур и др.), отказывается от принятия конгруэнтности (треугольников) в качестве первоначального понятия и использует для обоснования геометрии групповой подход, являющийся прогрессивным завоеванием математики XIX столетия, — и тем самым направлена на современные научные направления, то вейлевскую аксиоматику можно рассматривать как направленную в будущее. Мотивом для такого заключения является то, что основой вейлевской аксиоматики является понятие векторного пространства, все более проникающее во все разделы математики и различные области ее приложений (физика химия, биология, экономика и др.). Более того, такой подход к аксиоматике позволяет устранить разрыв между школьной математикой, вузовской математикой и современной математической наукой.

По существу идеи вейлевской аксиоматики очень близки к теме лекций Клейна. Точка, с которой начинает изложение Клейн, является первоначальным понятием и у Вейля. Свободный вектор, рассмотренный Клейном в качестве одного из простейших геометрических образов, является первоначальным понятием и у Вейля. Но если Клейн определяет точку тремя ее координатами и вводит вектор на основе грассманова принципа, то Вейль считает эти понятия неопределяемыми и лишь описывает в аксиомах их основные свойства.

Так же как у Гильберта (и у других авторов), Вейль делит свои аксиомы на группы. Их у него пять, При формулировании аксиом а, b, с означают произвольные векторы, k. I, m — произвольные числа, А, В, С — произвольные точки.

I группа (аксиомы сложения векторов); неопределяемые понятия: вектор, сумма двух векторов (также представляющая собой вектор).

13) существует такой вектор 0, что а

14) для любого а существует такой вектор что

II группа (аксиомы умножения вектора на число); неопределяемое понятие: произведение вектора на число (также представляющее собой вектор).

III группа (аксиома размерности). Определяемые понятия: линейная зависимость и линейная независимость векторов.

III1) Существуют три линейно независимых вектора;

любые четыре вектора линейно зависимы.

IV группа (аксиомы скалярного умножения). Неопределяемое понятие: скалярное произведение векторов (представляющее собой число).

IV4) если , то а

V группа (аксиомы связи точек и векторов). Неопределяемые понятия: точка; сопоставление каждой упорядоченной паре точек

В некоторого вектора АВ.

Существует хотя бы одна точка;

V3) для любых А, а существует и притом только одна точка

для которой

При первом же взгляде на вейлевскую аксиоматику бросается в глаз, что те свойства векторов, которые доказываются при обычном школьном изложении, здесь принимаются за аксиомы. Оказывается, что этот прием позволяет сделать построение курса геометрии очень кратким и простым; это — в подлинном смысле «царский путь в геометрию», существование которого по преданию подвергал сомнению Евклид в разговоре с правителем.

Далее, разбиение аксиом на группы имеет очень глубокий смысл. Первую группу составляют аксиомы абелевой группы. Иначе говоря, эта группа аксиом постулирует, что множество всех векторов с заданной в нем операцией сложения векторов представляет собой абелеву группу. Первая и вторая группы аксиом вместе означают, что множество всех векторов с имеющимися в нем операциями сложения векторов и умножения векторов на числа представляет собой векторное пространство (над полем действительных чисел). Далее, присоединение к первым двум группам третьей группы аксиом определяет трехмерное векторное пространство. Эта группа очень удобна для дальнейшего обобщения — для введения многомерных (или бесконечномерных) векторных пространств. Именно, заменяя в аксиомах III1 и III2 числа 3 и 4 на , мы и получаем аксиоматику -мерного векторного пространства.

Четвертая группа аксиом, вводящая скалярное произведение, приводит к определению евклидова векторного пространства — трехмерного, -мерного или (в бесконечномерном варианте) гильбертова пространства. Непосредственный переход от трехмерной геометрии к гильбертову пространству, играющему огромную роль в математике, квантовой физике и других приложениях, т. е. живая связь «школьной» геометрии с современной математикой, — еще одно достоинство вейлевской аксиоматики. Наконец, только в пятой группе аксиом вводятся точки, и мы от теории векторного пространства переходим собственно к геометрии.

Вейлевская аксиоматика позволяет очень просто определить прямые, плоскости, параллельность, перпендикулярность и прочие «евклидовы» понятия, причем все построение здания геометрии оказывается простым и кратким. Подробно об изложении геометрии на базе вейлевской аксиоматики можно прочитать в книге В. Г. Болтянского «Элементарная геометрия», указанной в примечании 7.

171. На русском языке имеется издание: Евклид. Начала. Книги Гостехиздат, 1950. — Книги Гостехиздат, 1949. — Книги XI—XV. — М.: Гостехиздат, 1950.

172. Русский перевод: Цейтен Г. Г. История математики в древности и в середине века. — 2-е изд. — ГОНТИ, 1938.

173. В самом деле неравенство означает, что Иначе говоря, рассмотрение всех тех пар целых чисел , для которых имеет место неравенство приводит к множеству всех тех (положительных) рациональных чисел которые меньше отношения Аналогично, рассмотрение всех тех пар , для которых приводит к множеству всех тех рациональных чисел которые больше отношения

Тем самым отношение определяет «сечение» в множестве рациональных чисел (положительных — других Евклид не знает), причем при число принадлежит нижнему классу этого сечения, а при та — верхнему. Аналогичным образом с отношение также определяет некоторое Сечение в множестве рациональных (положительных) чисел.

Если теперь неравенство имеет место одновременно с неравенством (а неравенство — одновременно с то это означает, что отношения и определяют одно и то же сечение и, следовательно,

Таким образом, евклидово сравнение отрезков по существу означает то же самое, что и рассмотрение соответствую щего дедекиндова сечения, а евклидово понимание равенства а с равносильно совпадению определяемых этими отношениями дедекиндовых сечений.

174. Об общем понятии площади и роли метода исчерпывания можно также прочитать в книге «Третья проблема Гильберта», указанной в примечании 10.

175. Тем более, что смысл слов «то», «часть», «иметь часть» совершенно не ясен (учитывая, что теоретико-множественным стилем мышления Евклид не обладал).

176. В греческом тексте этот постулат формулирован несколько иначе, а именно: «описать из любого центра окружность любым радиусом». Однако из дальнейшего евклидова текста (см. с. 306) видно, что этот постулат надо понимать именно в том более узком смысле, который указывается в формулировке Клейна.

177. См. с. 91 русского издания.

178. Например, именно такое идущее от Евклида изложение мы имеем в учебнике геометрии А. П. Киселева, хорошо известном нашим преподавателям, где отдельно рассматриваются две теоремы: «о квадрате стороны, лежащей против острого угла» и соответственно «против тупого». Различие этих случаев связано с тем, что перпендикуляр CD, проведенный из вершины С (вершина угла у. рис. 132 на с. 309) к противоположной стороне, может проходить либо внутри треугольника, либо вне его, т. е. точка D может принадлежать либо самой противолежащей стороне либо ее продолжению.

179. Ф. Бояи-старший (отец того знаменитого Яноша Боя я, который независимо от Лобачевского и Гаусса пришел к идеям неевклидовой геометрии) — известный венгерский математик. Ему принадлежит теорема (независимо от него доказанная австрийским офицером и любителем математики П. Гервином), обращающая известный из древности метод вычисления площади многоугольника разбиением на части и перегруппировкой этих частей (метод равносоставленности). Теорема Бояи—Гервина утверждает, что два многоугольника равной площади (т. е. равновеликие) являются равносоставленными, т. е. могут быть разбиты на одинаковое число соответственно конгруэнтных частей. Аналогичная теорема справедлива также в геометрии Лобачевского и в римановой геометрии (эллиптической). Гильберту принадлежит интересный пример, показывающий, что в неархимедовой геометрии понятия равновеликости и равносоставленности не являются эквивалентными. См. по поводу этого круга вопросов указанную в примечании 10 книгу В. Г. Болтянского «Третья проблема Гильберта».

Примечательно, что Фаркаш Бояи также много сил потратил на попытки доказательства пятого постулата Евклида. Он отчаялся в своих попытках, и сыну, Яношу, тоже пытался отсоветовать заниматься этой проблемой. В своем письме сыну он писал: «...это может лишить тебя твоею досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Эта черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон, на Земле это никогда не прояснится...». Письмо это написано в 1820 г. — в начале десятилетия, когда Лобачевский и Я Бояи пришли к своему открытию и опубликовали свои исследования!

180. Ряд других примеров имеется в прекрасно написанной книге: Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. - 4-е изд.-М.: Наука, 1969.

181. Здесь Клейн имеет в виду, конечно, такие углы, вторые (свободные) стороны которых проходят над осью в общем же случае следует сказать вместо «под стороною» — «между сторонами» другого угла.

182. Иными словами, первый роговидный угол не превосходит второго, если пересечение первого угла с достаточно малым кругом, имеющим центр О, содержится во втором роговидном угле.

183. Клейн записывает уравнение этой окружности в виде

а затем разлагает радикал в ряд вблизи точки что и дает написанное разложение.

184. Это краткое замечание Клейна заслуживает серьезного внимания. В разделе 1 (на с. 323) Клейн пишет о генетическом методе и апелляции к живому конкретному созерцанию, причем говорит о том, что в школе нужно следовать именно этим методам, позволяющим ученику свыкнуться с понятиями геометрии. В то же время здесь в разделе он несколько пренебрежительно отзывается о «синтетическом» изучении геометрии в духе древних и ратует за изложение геометрии на аналитической основе. К сожалению, Клейн не развивает этот тезис подробнее и, в частности, не отмечает тот рубеж, на котором следует перейти к аналитическому изложению геометрии. Вряд ли следует думать, что Клейн (даже с его глубокой приверженностью к аналитике) рекомендовал сразу же за наглядным введением геометрических понятий переходить к изложению основ аналитической геометрии (тем более, что выше он писал о постепенном выдвижении на первый план логических элементов).

В нашей школе таким рубежом можно считать 8-й класс, где вводятся векторы и координаты и, в частности, метрические соотношения в треугольнике выводятся с помощью скалярного произведения и его координатной записи. С этой точки зрения отказ от координатно-векторного метода при изучении начал стереометрии в классе и возврат к аксиомам соединения точек, прямых и плоскостей (что характерно для учебника А. В. Погорелова) является несомненным регрессом.

185. «Приложение алгебры к геометрии» состоит в том, что фиксируется отрезок, принимаемый за единицу длины, и задаются некоторые отрезки а, b, с, ..., после чего требуется построить отрезки, длины которых выражаются в виде и т. п. (первые четыре из этих выражений имеют измерение 1 относительно , и потому при их «построении» единица длины не нужна). Например, чтобы построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и опущенной на нее высоте h можно, конечно, построить на гипотенузе, как на диаметре, полуокружность и затем найти ее пересечения с прямой, отстоящей на расстояние h от гипотенузы, но можно поступить и иначе: убедиться с помощью вычисления, что катеты искомого треугольника имеют длины затем «построить» эти выражения и тем самым получить искомый треугольник.

В отдельных случаях такой способ построения, возможно, интересен, но в целом специальное изучение «построения» алгебраических выражений, несомненно, является той «боковой веточкой», тем тупиковым направлением исследования, которое уводит в сторону от генеральной линии развития науки и лишь отвлекает интересы учителей и учащихся надуманными проблемами.

Следует отметить, что такие «боковые веточки» время от времени культивируются математиками-методистами, когда они пытаются выйти за рамки своих, несомненно очень важных и актуальных научных проблем, связанных с преподаванием математики, и делают попытки создать вклад в теоретическую математику, исходя не из потребностей математической науки и ее приближений, а из желания обобщить решение школьных задач до уровня математической теории. В качестве примера можно указать «теорию равносильности уравнений», одно время расцветшую в методических руководствах махровым цветом. Речь идет о том, чтобы при решении, например, иррациональных уравнений избегать появления посторонних корней (при возведении обеих частей уравнения в квадрат и других «неравносильных» преобразованиях) добавлением неравенств. В результате вместе с последовательным упрощением исходного уравнения оно «обрастает» системой дополнительных неравенств, добавление которых к упрощенному уравнению делает его равносильным исходному уравнению. Все это, разумеется, математически совершенно корректно, но представляет собой «теорию», ненужную и не применяемую нигде, кроме школьной методики, причем «теорию» вовсе не методического, а математического плана (говорящую не о том, как обучать, а о том, чему обучать). В данном случае получается что-то вроде теории исключения, хорошо известной в алгебре многочленов, но перенесенной за границы этой своей естественной области приложимости на иррациональные, тригонометрические и другие выражения, где она теряет интерес и математический смысл.

Объясняется это вполне понятным стремлением учителя математики или методиста внести свой вклад не только в решение педагогических проблем, но и в саму математику. При отсутствии научно обоснованной проблематики и математической эрудиции в научном плане это и приводит к попыткам решения проблем типа великой теоремы Ферма, трисекции угла или к попыткам создания «боковых веточек», о которых пишет Клейн. Винить в этом следует не столько учителя или методика, сколько математиков-профессионалов и математиков-популяризаторов, не позаботившихся о разработке проблематики, доступной и интересной для широких проблем любителей математики и в то же время представляющей какой-то интерес для современной науки.

186. См. т. 1, с. 78—84 (семиугольник), с. 164—166 (трисекция угла). Следует также заметить, что с чисто методической точки зрения задачи на построение представляют собой прекрасный материал для закрепления теоретического материала (поскольку при поиске решения, при доказательстве и при исследовании приходится пользоваться всем арсеналом ранее изученных теорем), для развития навыков логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Не случайно преподаватели математики очень любят задачи на построение и сожалеют о значительном снижении удельного веса задач на построение в современной шкальной программе.

Из литературы о геометрических построениях следует отметить прежде всего две книги (обе, к сожалению, давно не переиздававшиеся): Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение. — М.: Учпедгиз, 1950, Адлер А. Теория геометрических построений. — М.: Учпедгиз, 1940.

187. Здесь Клейн упоминает еще об одной из «боковых веточек», о которых говорилось в примечании 185. Правда, он здесь не так уж резко ее критикует, поскольку выше (на с. 242—243) он нашел изящный способ характеризации геометрии треугольника с точки зрения проективной геометрии. Эта область (геометрия треугольника) владела умами учителей и любителей математики и в нашей стране (см., например, Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962). Иногда по поводу критики геометрии треугольника как тупикового направления возражают, отмечая, что в геометрии треугольника известны теоремы Эйлера, Мёбиуса, Лежандра, Якоби и других выдающихся математиков. Однако эти ученые видели в геометрии треугольника не цель исследования, а побочное поле приложимости созданных ими глубоких теорий. Например, Мёбиус, которого многократно и охотно цитирует Клейн, получил некоторые новые факты геометрии треугольника как приложение развитого им «барицентрического исчисления», Лагранж и Якоби установили результаты, относящиеся к геометрии треугольника, как приложение новых важных их исследований о вращательном движении тел. И даже великий ученый древности Архимед, которому принадлежит теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке, пришел к этому результату в виде приложения развитого им учения о центрах тяжести.

В связи с этим указанная тематика (геометрия треугольника) представляет интерес для занятий школьного математического кружка не сама по себе, а как повод для рассказа о подлинно важных теориях, относящихся к геометрии и механике и дающих в виде приложения красивые теоремы геометрии треугольника.

188. Лежандр, так же как Гаусс, Лобачевский и Бояи, беспрестанно занимался теорией параллельных, но в отличие от них не пришел к дерзкой мысли о возможности построения непротиворечивой геометрии, основанной на отрицании аксиомы параллельности, а до конца жизни не оставлял попыток найти доказательство пятого постулата Евклида. В каждом почти издании своих «начал геометрии» Лежандр помещал новое доказательство евклидова постулата, но внимательный анализ показывал, что оно опиралось на совершенно «очевидное», явно не высказанное предположение, которое эквивалентно пятому постулату. Однако эти безуспешные попытки доказательства пятого постулата нельзя признать бесплодными: вместе взятые «доказательства» Лежандра составили интересное и содержательное исследование, результатом которого было нахождение ряда положений, эквивалентных пятому постулату.

189. Клейн отмечает в этом абзаце, что в гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше я. Но окончательное выяснение этого факта как раз и связано с именем Лежандра. Разность называют дефектом треугольника с углами . В евклидовой геометрии дефект любого треугольника равен нулю.

Легко доказывается в обратное: «ели дефект любого треугольника равен нулю, то справедлив пятый постулат, т. е. мы находимся в рамках евклидовой геометрии. Лежандр прежде всего доказывает, что если дефект какого-либо одного треугольника равен нулю, то я дефект любого треугольника равен нулю следовательно, справедлив пятый постулат). Теперь «остается» отыскать какой-нибудь один треугольник с нулевым дефектом, т. е. с суммой углов я. Один из приемов, использованных для этого Лежандром, состоит в следующем. Без труда устанавливается, что если треугольник разбит прямой, проходящей через вершину, на два треугольника, то дефект всего треугольника равен сумме дефектов составляющих треугольников. Далее, если середина отрезка ОА и если луч, исходящий из точки О, пересекает перпендикуляры к прямой ОА, проведенные через М и А, в точках N и В, то дефект треугольника ОАВ больше, чем удвоенный дефект треугольника OMN. Используя эту лемму, Лежандр проводит рассуждение следующим образом. Возьмем прямоугольный треугольник О ММ с вершиной прямого угла М, и пусть его дефект. Допустим, что Отложив на прямой ОМ от точки М отрезок, равный ОМ (т. е. взяв такую точку А, что М — середина отрезка ОА), проведем перпендикуляр к прямой ОМ, проходящий через точку А, и обозначим через В его точку пересечения с прямой ON. Тогда по сформулированной выше лемме дефект треугольника ОАВ больше . Но теперь, исходя из треугольника ОАВ, мы точно таким же образом сможем получить треугольник, имеющий дефект затем треугольник с дефектом и вообще треугольник, дефект которого больше Но так как дефект любого треугольника не превосходит я, то мы получаем противоречие, которое и означает, что неравенство невозможно. Итак, должно быть и тем самым Лежандр считает, что найден треугольник с нулевым дефектом, т. е. пятый постулат Евклида доказан.

Ошибка здесь состоит в том, что Лежандр неявно использовал следующее предложение: пусть -произвольный острый угол и А — произвольная точка луча тогда перпендикуляр к прямой ОМ, проведенный через точку Л, непременно пересекает луч ON. Кажущаяся «очевидность» этого предложения, разумеется, не является основанием для возможности его использования при доказательстве пятого постулата. В действительности это предложение является эквивалентом пятого постулата.

Разумеется, для человека, знакомого с геометрией Лобачевского, ошибка совершенно очевидна. Но выявление этого эквивалента пятого постулата до создания гиперболической геометрии представляет собой совершенно нетривиальное достижение. Этот и другие эквиваленты пятого постулата, открытые Лежандром (один из них Клейн упоминает ниже), сыграли определенную роль в открытии Лобачевским его геометрии. Таким образом, рольлежандровской теории параллельных не следует недооценивать.

Для сравнения заметим, что в модели Кэли — Клейна перпендикулярность прямых (как и вообще величина угла) интерпретируется не очень просто и иллюстрация этого эквивалента пятого постулата в общем случае не слишком проста. Однако если рассматриваемое коническое сечение представляет собой окружность, О — ее центр (т. е. прямая ОМ изображается в этой модели диаметром окружности), то перпендикулярность прямой ОМ и некоторой другой прямой интерпретируется перпендикулярностью в обычном евклидовом смысле (это следует из соображений симметрии).

Следовательно, если ON — луч, образующий с ОМ острый угол, a - точка пересечения луча ON с абсолютом (окружностью), то перпендикуляр, проведенный (в евклидовом смысле) к прямой ОМ из точки пересекает ОМ в некоторой точке обладающей следующим замечательным свойством. Если А — точка прямой ОМ, лежащая за (т. е. А — такая точка, лежащая внутри окружности, что — внутренняя точка отрезка ОЛ, то перпендикуляр, проведенный через точку А к прямой ОМ, не пересекается с ON в модели Кэли — Клейна, т. е. точка пересечения этого перпендикуляра с прямой ON лежит вне окружности (абсолюта). Это и показывает, что в геометрии Лобачевского лежандрово предложение места не имеет, и, следовательно, оно представляет собой эквивалент пятого постулата.

190. Русский перевод учебников, представляющих переработку не только «Геометрии», но и «Арифметики» и «Алгебры» Бореля, был издан под редакцией проф. В. Ф. Кагана в 1911 г. и переиздан в 1923 г.

191. Здесь и далее «равен» понимается в смысле «равен по площади» (в этом смысле используется теперь более удобный термин «равновелик»).