Введение общих понятий площади фигуры и длины кривой.

3. Наконец, мы должны также поговорить о понятии площади, которым нам до сих пор при нашем построении геометрии совершенно не приходилось еще пользоваться. Однако это понятие содержится, хотя в более или менее неточной форме, в наивном пространственном сознании каждого человека; всякий крестьянин знает, что означает фраза: участок земли имеет площадь столько-то квадратных метров. Поэтому, если мы полностью обосновали геометрию — и это действительно сделано в предшествующем, — не пользуясь этим основным понятием, то мы должны его все же присоединить теперь задним числом к нашей системе, другими словами, выразить его в координатах.

Здесь нам приходится начать с одного небольшого геометрического соображения, которое приблизительно в том же виде постоянно встречается у Евклида и в элементарных изложениях геометрии. Имея прямоугольник со сторонами А, В, мы определяем в качестве его площади произведение АВ. Соединяя, далее, в одно целое два прямоугольника или, вообще, две фигуры с известной площадью, получаем одну фигуру, площадь которой должна быть равна сумме чисел, выражающих площади взятых фигур; если же отрезать от прямоугольника или, вообще, от какой-либо фигуры меньшую фигуру, целиком в ней заключающуюся, то площадь остатка должна выражаться разностью чисел, выражающих площади обеих фигур (рис. 117).

Установив это, мы сразу приходим к определению площади параллелограмма.

Параллелограмм получается из прямоугольника с тем же основанием и высотой путем отсечения некоторого треугольника и присоединения равного ему треугольника (рис. 118); поэтому его площадь равна площади названного прямоугольника и, следовательно, равна произведению основания на высоту.

Рис. 117

Рис. 118

Диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника, каждый из которых имеет поэтому площадью половину площади параллелограмма: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Применяя это к треугольнику со сторонами и заключенным между ними углом так что высота, опущенная на равна , находим для его площади выражение

Рис. 119

Помещая одну вершину этого треугольника (рис. 119) в начало координат и обозначая координаты других вершин через мы легко можем пересчитать эту формулу с помощью указанных выше выражений для расстояний и для угла в такую формулу:

Легко убедиться в том, что повороты системы координат оставляют это выражение А без изменения, так что мы имеем в нем действительно некоторое «геометрическое понятие».

Но чтобы установить инвариантность также при параллельных переносах, а следовательно, и при всех вообще движениях, надо подвергнуть одновременному преобразованию третью вершину, т. е. установить формулу для площади треуугольника, образованного любыми тремя точками тогда получаем

и это как раз та формула, с которой мы начали наш курс (с. 10).

Легко проверить, что определенные таким образом площади треугольников при соединении треугольников в одно целое или при отсечении части от треугольника складываются или вычитаются; это сводится, как мы это уже видели ранее, к простым соотношениям между определителями.

Этим выполнено включение идеи площади в нашу систему аналитической геометрии, и в то же время мы приобрели нечто такое, что сначала не было еще в наивном представлении; площадь становится величиной, снабженной знаком. Я уже изложил подробно в самом начале этого курса (с. 10-14), какое преимущество достигается этим в отношении свободного оперирования с формулами и их не допускающей исключений приложимости по сравнению с наивным взглядом на площадь как на неотрицательную величину.

4. Дальнейшим примером понятия, содержащегося в более или менее точной форме в наивном представлении пространства, которое мы теперь должны дополнительно включить в нашу систему геометрии, является понятие (произвольной) линии. Каждый человек думает, что знает, что такое линия, покуда он не изучит настолько математику, что его собьют с толку бесчисленные возможные ненормальности.

Но здесь мы не станем входить в подробности и скажем просто, что под линией мы понимаем совокупность точек, координаты которых представляют собой непрерывные функции параметра t, обладающие столькими производными, сколько требуется в каждом отдельном случае:

Это дает возможность сразу развить в рамках нашей аналитической геометрии все те понятия и теоремы, которые обыкновенно объединяются названием инфинитезимальной (дифференциальной) геометрии, в том числе понятие длины дуги кривой, площади изогнутой поверхности, кривизны, эволют и т. д.

Основная идея заключается в том, что кривую рассматривают как предел вписанной ломаной (рис. 120). Если две соседние точки имеют координаты , то из пифагоровой формулы тотчас же следует такое выражение для длины дуги:

и точно так же из формулы для площади треугольника с вершиной О сразу же получается уже ранее употреблявшаяся нами (с. 21) формула

выражающая площадь сектора, заключенного между кривою и двумя радиус-векторами, проведенными из О.

Рис. 120

На этом я покидаю наш первый способ построения геометрии, который характеризуется тем, что мы на первое место выдвинули существование и расчленение трехпараметрической группы движений и вслед за тем сразу же ввели координаты, чтобы в дальнейшем иметь возможность перевести наши рассуждения целиком в область арифметики. Этому построению в известной мере противостоит другой способ обоснования геометрии; он тоже приводит непосредственно к метрической геометрии и с давних пор играл большую роль, поэтому я хочу остановиться и на нем подробнее.