Современные представления и требования.

Спросим себя прежде всего, какие именно требования следует предъявить в настоящее время к здоровому школьному преподаванию геометрии.

1) Всякий согласится, конечно, с тем, что здесь психологические соображения должны играть существенно руководящую роль. Преподавание не может зависеть от одного лишь (учебного) материала, но должно прежде всего считаться с подлежащим обучению субъектом. Один и тот же вопрос мы будем излагать шестилетнему ребенку иначе, чем десятилетнему, а этому последнему опять-таки не так, как взрослому человеку. В частности, в применении к геометрии это означает следующее: в школе всегда сначала следует апеллировать к живому конкретному созерцанию и позволительно лишь постепенно выдвигать на первый план логические элементы; вообще, единственно правильным является генетический метод, при котором ученик, не спеша, свыкается с изучаемыми вещами.

2) Что касается подбора материала, то следует стараться выбрать из всей области чистой и прикладной геометрии такие части, которые представляются соответствующими целевой установке геометрии в рамках всего преподавания, не поддаваясь при этом влиянию исторических случайностей. Никогда не бывает излишним повторять такого рода общие требования; если даже всякий склонен соглашаться с ними в теории, то на деле с ними достаточно часто не считаются.

3) Что касается общей цели преподавания, то я не могу входить здесь в рассмотрение тех более тонких нюансов, какими взаимно отличаются разные виды школ. Достаточно отметить, что эта цель в высшей степени зависит от культурного направления данной эпохи. И, конечно, не будет защитой плоского утилитаризма, если мы скажем, что цель современной школы состоит в том, чтобы сделать широкие круги способными морально и умственно к сотрудничеству в современной культурной работе, направленной главным образом на практическую деятельность. Поэтому, в частности, для преподавания математики представляется необходимым все более и более принимать во внимание естествознание и технику.

4) Предложить какой-нибудь определенный выбор материала я, конечно, не могу; это — дело учителя-практика, который имеет богатый собственный опыт преподавания. Настоящий курс должен, как я это уже не раз подчеркивал раньше, лишь подготовить такой выбор, поскольку он дает вам в руки в виде обзора всей чистой геометрии тот материал, который поможет вам впоследствии составить свое собственное веское мнение по этому вопросу.

5) Я желал бы отметить здесь еще только одну полезную методическую точку зрения, а именно, уже неоднократно упомянутую тенденцию к слитному преподаванию планиметрии и стереометрии, цель которого — помешать одностороннему усовершенствованию в планиметрии при одновременном пренебрежении к развитию трехмерной пространственной интуиции. В том же смысле надо понимать также и требование, слитого преподавания арифметики и геометрии: я не считаю желательным полное слияние этих областей, но они не должны быть столь резко разграничены, как это часто теперь происходит в школе. Весь уклон этого и прошлого моего курса показывает, как, на мой взгляд, все это следует понимать.

Действительная школьная практика оказывается с точки зрения этих мыслей и требований во многих отношениях совершенно неудовлетворительной. Трудно, конечно, произнести один общий приговор, так как даже в пределах одной страны практика меняется от школы к школе и даже от учителя к учителю.

Но все же я считаю возможным установить небольшое число в общем и делом действительно наблюдаемых черт, хотя в ответ. на каждое отдельное обвинение можно, несомненно, указать на множество случаев, в которых оно совершенно неприложимо.

1. Прежде всего я полагаю, что слияние различных областей проведено в преподавании в настоящее время еще слишком слабо; в подтверждение я приведу несколько примеров, которые, быть может, связаны для вас с живыми еще воспоминаниями.

a) Проектирование и изображение пространственных фигур, имеющие, несомненно, чрезвычайно важное значение, в современном преподавании геометрии не занимают надлежащего места. Правда, внешне они включены в учебный курс, но внутренне не переплетены с ним. В связи с этим то, что называют духом новой геометрии, не занимает в преподавании подобающего ему положения; я имею в виду ту идею о подвижности всякой фигуры, благодаря которой удается каждый раз перейти от частного случая к пониманию общего характера геометрических образов. И хотя отдельные главы «новой геометрии», как, например, учение о гармонических точках и трансверсалях, и вошли в программу, но то, что своеобразный метод новой геометрии позволяет охватить одним взглядом, в школе обыкновенно излагают по застывшей евклидовой схеме, расчленяя на множество частных случаев.

b) Геометрию и арифметику в школе обыкновенно искусственно отделяют одну от другой; поучительный пример этого представляет уже упомянутый выше (с. 296) способ изучения теории пропорций, которые рассматривают сначала арифметически, а затем часто даже без всякой связи с предыдущим материалом — в геометрической форме.

c) Аналитическая геометрия с ее основным положением, что функция изображает кривую, несомненно, доступна пониманию детей уже на ранней ступени, и она могла бы и должна была бы пронизывать в дальнейшем все преподавание геометрии. Вместо этого ее надстраивают в виде нового отдельного здания над готовым зданием геометрии и после того, как уже однажды проработали «синтетически» (в духе древних!) конические сечения, показывают, как можно все получить гораздо проще при помощи «новой дисциплины» — аналитической геометрии.

При этом, конечно, не учитывается то более глубокое воззрение современного исторического исследования, согласно которому идеи аналитической геометрии по существу имелись уже у Аполлония.