Род и связность поверхностей.

Здесь мы ограничимся только исследованиями поверхностей. Сюда относится прежде всего одно открытое Мёбиусом свойство, которого еще не знал Риман, а именно, деление поверхностей на односторонние и двусторонние. Мы говорили уже раньше (с. 33) об одностороннем листе Мёбиуса и мы видели, что, непрерывно двигаясь по его поверхности, можно незаметно перейти с одной его стороны на другую, так что здесь теряет смысл различение двух сторон. Ясно, что это свойство сохраняется при всех непрерывных деформациях и что поэтому в Analysis situs действительно следует заранее различать односторонние и двусторонние поверхности.

Здесь мы ради простоты займемся только двусторонними поверхностями, тем более, что только они обыкновенно и применяются в теории функций; впрочем, теория односторонних поверхностей не является существенно более трудной.

Оказывается, что всякую (двустороннюю) поверхность вполне характеризуют в смысле Analysis situs два натуральных числа: число ее граничных кривых (контуров) и число (так называемый «род») не разбивающих ее на части замкнутых линий — «сечений» (не имеющих общих точек с граничными контурами); точнее говоря, две двусторонние поверхности могут быть тогда и только тогда взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображены одна на другую (являются «элементарно соответственными» или, как теперь говорят, гомеоморфными), когда для них оба эти числа и совпадают. Мы зашли бы слишком далеко, если бы я захотел изложить здесь доказательство этой теоремы; я могу только разъяснить на отдельных примерах значение обоих чисел .

Представим себе расположенными рядом сферу, кольцевую поверхность и, наконец, поверхность двойного кольца (имеющего форму кренделя), как это схематически показано на рис. 75.

Рис. 75

Все три поверхности являются замкнутыми, т. е. они не имеют граничных контуров: . В первом случае (сфера) каждое сечение по замкнутой линии разбивает поверхность на две отдельные части, т. е. также и Во втором случае (кольцо) меридиан представляет собой замкнутую линию сечения, которая не разбивает поверхности, но если она уже проведена, то всякая другая замкнутая линия сечения действительно разбивает поверхность; это мы и имеем в виду, когда говорим, что Наконец, в третьем примере как показывают два различных меридиана (по одному на каждом ушке). Прибавляя новые ушки («ручки»), можно прийти к поверхностям с произвольным . Если же мы желаем также и числу дать какое-нибудь отличное от нуля значение, то достаточно проделать в этих поверхностях маленьких дырочек, так называемых «проколов», которые каждый раз дают некоторую контурную линию.

Таким образом, мы действительно можем образовать поверхности с любыми значениями с ними должны быть гомеоморфны все другие поверхности с такими же как бы они ни отличались от первых поверхностей по своему внешнему виду. Теория функций дает много примеров таких поверхностей.

Я должен разъяснить еще термин «связность», который ввел Риман; этим термином он обозначает число и называет соответствующую поверхность - связной. Если поверхность односвязна то т. е. она гомеоморфна шару с одним проколом; такой шар может быть также непрерывно преобразован расширением этого прокола в плоский диск (рис. 76).

Рис. 76

Рис. 77

Далее, Риман вводит понятие поперечного сечения или «разреза», который ведет от одной граничной точки (на контуре) к другой. О разрезах можно, следовательно, говорить только тогда, когда действительно имеются контуры, следовательно, когда Имеет место такое предложение: каждый разрез уменьшает связность на единицу, так что, в частности, каждую поверхность с можно преобразовать в односвязную при помощи разрезов. Если, например, возьмем кольцевую поверхность (рис. 77) с одним проколом , то можно сначала провести разрез начинающийся и оканчивающийся в этом проколе, а затем второй разрез так, чтобы он начинался и заканчивался где-нибудь на первом разрезе, проходя в остальном по поверхности без пересечения с прежним разрезом, не разбивающим поверхности. Тогда связность действительно уменьшится от до V.