Скаляры первого и второго рода.

Гамильтон наряду со словом «вектор» придумал еще слово «скаляр», которое тоже до сих пор играет большую роль в физике. Скаляр — это не что иное, как инвариант относительно всех наших преобразований координат, т. е. величина, которая при всех изменениях системы координат либо совсем не изменяется, либо только приобретает некоторый множитель. В соответствии с этим можно различать разные оттенки в понятии скаляра. Рассмотрим сперва в качестве примера пространственный элемент, или объем тетраэдра

Можно легко проверить вычислением, что он в результате преобразований координат принимает следующие значения:

Величину, которая остается неизменной при параллельных переносах и поворотах, а при зеркальном отражении меняет знак, называют скаляром второго рода, тогда как скаляр первого рода должен оставаться неизменным и при зеркальном отражении. При этом мы снова оставляем в стороне размерность, получаемую из четвертого столбца.

Нетрудно образовать также скаляры первого рода, простейшими примерами являются , где — координаты свободного вектора, и , где — координаты свободного плоскостного элемента.

Эти величины, действительно, остаются неизменными при всех собственных движениях и зеркальных отражениях (но не при изменениях масштаба). Это сразу же видно из таблички на с. 71, если еще учесть равенства (3) (с. 66) для коэффициентов поворота; поэтому эти величины должны иметь также и чисто геометрический смысл, и мы действительно знаем, что они представляют собой квадрат длины вектора или соответственно квадрат площади плоскостного элемента.