Применение принципа классификации к элементарным величинам.

Все это мы сейчас разъясним на том материале, который дают грассмановы элементарные величины.

Для этого подвергнем обе наши точки одному и тому же преобразованию координат. Начиная с параллельного переноса полагаем

Сравнивая координаты линейного элемента

до и после преобразования, получаем

Точно таким же образом получают следующие формулы преобразования:

2) при повороте

3) при зеркальном отражении

4) при изменении масштаба

В последних формулах выступает различие в поведении отдельных величин, а именно, показатель той степени , на которую умножаются эти величины, неодинаков. В физике это различие учитывают тем, что вводят понятие размерности: говорят, что X, Y имеют размерность 1 (размерность линии), а N — размерность 2 (размерность площади).

Рассматривая эти четыре группы формул, мы прежде всего замечаем, что линейный элемент, определяемый тремя детерминантами X, У, N, действительно удовлетворяет нашему общему определению геометрической величины: его новые координаты X, Y, N всегда выражаются через одни только старые

Мы придем к дальнейшим результатам, рассматривая только первые два уравнения каждой группы.

В них совсем не входит N, следовательно, первые две координаты X, Y линейного элемента в новой системе координат зависят только от первоначальных значений X, Y тех же координат. При этом при параллельном переносе X, Y совсем не изменяются, а при всех прочих преобразованиях они связаны такими же соотношениями с X, Y, которыми старые координаты х, у любой точки связаны с ее же новыми координатами х, у. Поэтому согласно только что высказанному второму принципу, можно утверждать, что уже две первые координаты X, Y определяют некоторый геометрический образ независимо от системы координат, и этим образом является, как мы знаем уже, свободный вектор. Здесь мы встречаемся с намеченным выше принципом систематики, который побуждает ввести этот образ (свободный вектор) наряду с линейным элементом.

К той же области идей принадлежит также следующее соображение: поскольку X, Y, N входят во все четыре группы формул в виде линейных однородных функций от X, Y, N, то посредством деления каждых двух уравнений находим, что отношения зависят тоже только от отношений . Поэтому эти отношения сами по себе (безотносительно к значениям самих величин X, Y, N) тоже должны определять независимо от системы координат некоторый геометрический образ, и, в самом деле, мы уже раньше установили, что этим образом является неограниченная прямая.

Применяя наши формулы (В) к частному случаю «пары сил», т. е. полагая находим, что во всех четырех случаях а для N получаем соответственно

Пользуясь обычным термином «инвариант» для обозначения величины, которая при всех операциях некоторой группы преобразований либо совсем не изменяется, либо самое большее умножается на некоторый множитель, и называя этот инвариант абсолютным или относительным в зависимости от того, будет ли упомянутый множитель равен единице или нет, можно выразить формулы (С) такими словами: момент вращения пары сил является относительным инвариантом при всех ортогональных преобразованиях координат на плоскости.

Сравним теперь с этим результатом поведение при преобразованиях координат элементарной геометрической величины, которую мы изучали в самом начале, а именно, площади треугольника

Параллельный перенос не изменяет величины этого определителя, ибо при нем только прибавляется к элементам первого столбца число а, а к элементам второго — число b, т. е. прибавляются а - кратные и соответственно - кратные элементов последнего столбца:

Столь же просто находим поведение определителя в случае трех прочих видов преобразований:

о чем, конечно, можно было бы и непосредственно заключить, исходя из геометрического смысла площади треугольника. Но эти формулы вполне совпадают с формулами (С); следовательно, площадь треугольника, а потому и площадь всякой плоской фигуры (которую ведь можно представить как сумму треугольников), ведет себя при произвольном преобразовании координат точно таким же образом, как момент вращения пары сил. Поэтому, следуя нашему второму общему принципу, мы должны обе эти вещи рассматривать как геометрически эквивалентные, понимая это в таком смысле: имея на плоскости какую-либо пару сил с моментом N и взяв любой треугольник с площадью мы найдем, что это последнее равенство сохраняется при всех преобразованиях координат, т. е. мы можем момент вращения пары сил представить наглядно независимо от преобразования координат в виде площади треугольника или параллелограмма или еще какой-нибудь иной фигуры.

Каким именно образом это сопоставление должно происходить геометрически, будет видно позже при изучении совершенно аналогичных, но немного более сложных, а потому и более поучительных соотношений в пространстве.

На этом я покину геометрию на плоскости, в которой эти понятия имеют почти тривиальную простоту. Для всех аналитических формул удается непосредственно подыскать их хорошее геометрическое толкование, причем и на геометрию распространяется сама собой полная аналитическая общность. При этом всегда является существенным то предположение — пусть это будет еще раз подчеркнуто, — что раз навсегда установлены надлежащие соглашения относительно знаков ± в геометрических образах.