Скалярные и векторные поля; векторный анализ.

После этого экскурса я хочу еще остановиться несколько подробнее на тех высших образах, которые можно составить в качестве производных образований грассмановых элементарных образов — в особенности векторов — наряду с приведенными раньше производными образованиями точек, плоскостей и т. д. Мы приходим здесь к дальнейшему развитию векторного анализа в собственном смысле, который благодаря Гамильтону сделался одним из ценнейших орудий механики и физики; я предлагаю вашему вниманию переведенные на немецкий язык «Элементы кватернионов» Гамильтона, а также уже упомянутый раньше (с. 82-83) «Векторный анализ» тоже очень заслуженного американца Гиббса.

Новая мысль, присоединяющаяся здесь к известным уже нам понятиям вектора и скаляра, заключается в том, чтобы связать эти величины с точками пространства: каждой точке (х, у, z) пространства относят определенный скаляр

и говорят тогда о скалярном поле; с другой стороны, в каждой точке пространства прикладывают определенный вектор

и совокупность этих векторов называют векторным полем.

Этим даны названия двум важнейшим геометрическим понятиям, которые в современной физике применяются на каждом шагу; достаточно будет очень немногих примеров, чтобы напомнить об их широком распространении. Плотность распределения массы, температура, потенциальная энергия в непрерывно протяженной системе, рассматриваемые каждая как функция места, являются примерами скалярного поля. Поле сил, в котором к каждой точке приложена определенная сила, является типичным примером векторного поля. Дальнейшими примерами являются в теории упругости поле сдвигов деформированного тела, если представить себе, что каждой точке отнесен отрезок, изображающий ее сдвиг, подобно этому в гидродинамике поле скоростей, наконец, в электродинамике электрическое и магнитное поля, в которых каждой точке отнесен определенный вектор электрической или магнитной напряженности поля.

В каждой точке можно из вектора магнитной напряженности поля, который по своей природе является аксиальным, и из полярного вектора электрической напряженности поля составить один винт; поэтому электромагнитное поле можно интерпретировать также как пример винтового поля.

Гамильтон показал, как можно проще всего сделать эти поля доступными методам дифференциального и интегрального исчислений.

В основе этого применения анализа лежат два замечания. Первое заключается в том, что дифференциалы

отношения которых определяют направление перемещения в данной точке пространства, изображают некоторый свободный вектор, т. е. что они ведут себя при преобразованиях координат как компоненты свободного вектора. Это можно легко вывести из того, что они получаются путем предельного перехода из координат маленького отрезка, проходящего через точку .

Второе, более важное, но в то же время и более трудное для понимания замечание заключается в том, что символы частного дифференцирования также имеют характер компонент свободного вектора, т. е. при переходе к новой прямоугольной системе координат х, у, z новые символы получаются из старых таким же образом, как преобразованные координаты вектора (а именно полярного вектора) получаются из его первоначальных координат.

Это сразу же станет ясным, если действительно проделать соответствующие вычисления для поворота системы координат:

Эти уравнения поворота характеризуются, как мы уже подробно излагали (с. 66), тем, что их решение получается простой перестановкой строк и столбцов в системе их коэффициентов:

Имея некоторую функцию , можем ее представить посредством (2) также как функцию х, у, z. По известным правилам частного дифференцирования находим

Входящие сюда частные производные х, у, z по можно сразу найти из (2), после чего получается

Сравнивая этот результат с (I), замечаем действительно совпадение с формулами преобразования координат точки, а значит, и компонент вектора.

Гораздо более простое вычисление показало бы точно так же, что при параллельном переносе системы координат три символа вообще не изменяются, при симметрии же относительно точки они изменяют знак, чем и доказывается наше утверждение. Но только при этом мы не считались с изменениями масштаба, т. е. не обращали внимания на измерение; принимая же его во внимание, найдем, что наши символы имеют измерение, равное — 1, ибо дифференциалы координат входят в их знаменатели.

Над этим векторным символом Гамильтона мы будем производить те же операции, которые мы раньше производили над векторами. Начну с того замечания, что результат применения операции к некоторой функции т. е. можно рассматривать как символическое произведение из и ибо формальные законы умножения (а именно они будут играть роль в дальнейшем), в частности, дистрибутивность остаются в силе для этих операций.

Пусть теперь задано скалярное поле ; умножаем в установленном только что смысле этот скаляр на компоненты векторного символа Гамильтона, т. е. образуем вектор

Раньше мы видели что произведение скаляра на вектор является снова вектором, а так как при доказательстве этого предложения приходится опираться только на такие свойства умножения, которые имеют место и при нашем символическом умножении, то выходит, что эти три частные производные скалярного поля определяют вектор, зависящий еще от точки , т. е. векторное поле; оно находится со скалярным полем в определенной связи, характер которой не зависит от того или другого выбора системы координат. Этому векторному полю, взятому со знаком минус, дают название, заимствованное из метеорологии, а именно, градиент скалярного поля. Так, например, в известных картах погоды, помещаемых в газетах, атмосферное давление в каждом месте представлено в виде скалярного поля S, наглядно изображенного при помощи кривых , возле которых выписаны соответствующие им значения ; тогда градиент дает направление быстрейшего падения атмосферного давления и оказывается всегда нормальным к этим «кривым (равного) уровня».

Из трех компонент X, Y, Z вектора всегда можно (ср. с. 77) составить скаляр в частности, из градиентов любого скаляра получаем новое скалярное поле

которое должно быть связано некоторым, не зависящим от системы координат образом, с векторным полем этого градиента, а значит, и с первоначальным скалярным полем. Этот скаляр равен квадрату длины градиента или, как говорят, равен квадрату падения скалярного поля.

Применяя еще раз это же предложение, образуем из самого векторного символа некоторый символический скаляр путем символического умножения каждой из его компонент на себя, т. е. двукратного применения обозначаемой ею операции. Это. дает операцию

которая, следовательно, имеет скалярный характер, т. е. остается неизменной при ортогональных преобразованиях координат.

При «умножении» этого скалярного символа на скалярное поле f обязательно должно снова получиться скалярное поле

которое с первоначальным полем связано не зависящим от системы координат образом. Если представить себе текущую в этом поле жидкость, плотность которой первоначально равна единице и скорость которой в каждой точке задана градиентом поля f, то за момент плотность возрастает в каждой точке на величину, равную произведению этого скаляра (в этой точке) на . Поэтому

называют дивергенцией (расхождением) градиента поля

Прежде пользовались, вслед за Ламе, такой терминологией: скалярное поле называли функцией точки, первое связанное с ним скалярное поле — первым дифференциальным параметром, а второе скалярное поле — вторым дифференциальным параметром.

Теперь мы будем подобным же образом комбинировать наш векторный символ с заданным (полярным) векторным полем

применяя оба рода умножения двух векторов, с которыми мы раньше познакомились.

а) Путем внутреннего умножения возникает скаляр, который при уже знакомом нам истолковании символического умножения на принимает такой вид:

Конечно, он в свою очередь зависит от и представляет собой поэтому некоторое скалярное поле; между этим последним и данным векторным полем существует соотношение, не зависящее от системы координат. Это поле называется дивергенцией исходного в смысле данного выше определения.

b) Внешнее умножение дает матрицу

ее тремя определителями являются выражения

Согласно предыдущему они определяют собой некоторый плоскостной элемент, или аксиальный вектор, или соответственно аксиальное векторное поле, причем характер связи обоих полей опять-таки оказывается независимым от выбора системы координат. По Максвеллу, это векторное поле имеет название (локон, завиток) заданного; в Германии наряду с этим словом употребляют также немецкое слово (мутовка, мешалка), происходящее от того же самого германского корня; иногда говорят также ротор («вращатель»); в русской литературе пользуются именно этим последним термином.

Теперь мы уже получили путем систематического геометрического исследовамия все те величины, которые физик всегда должен иметь под рукой при своих исследованиях всевозможных векторных полей. То, чем мы здесь занимались, является чистой геометрией. Я должен это особенно акцентировать, так как на эти вещи часто смотрят как на принадлежащие физике и соответственно этому излагают их в книгах и лекциях по физике, а не по геометрии.

Но это лишено всякого объективного основания и может быть понято лишь как дань историческому развитию, ибо в свое время физика должна была в этом случае сперва сама создать себе то орудие, в которомона нуждалась и которого не имелось тогда еще в готовом виде в арсенале математики.

Здесь мы снова встречаемся с тою же несуразностью, на которую я уже неоднократно должен был обращать ваше внимание в прошлом семестре в областианализа.

С течением времени в физике развивались всякого рода математические потребности, и это не раз сообщало крайне ценные импульсы математической науке. А между тем преподавание математики, особенно в той форме, которую оно еще до сих пор по большей части имеет в школах, не учитывает этих изменений; оно продолжает двигаться по старым, проторенным в продолжение столетий путям и предоставляет физике самой биться над налаживанием своих вспомогательных средств, хотя их математическая обработка дала бы для преподавания математики гораздо более подходящий материал, чем многие вещи, сохраняемые в нем в силу стародавних традиций. Как видите, и в духовной жизни имеет место своего рода закон инерции; все продолжает идти прямо вперед по своему старому пути, и каждому изменению, каждому переходу на новые современные пути противодействует большое сопротивление.

На этом я заканчиваю первый раздел, который познакомил нас с самыми различными видами геометрических образов, с объектами геометрии.

Теперь мы должны заняться особым методом, который имеет огромнейшее значение для более точного исследования этих образов.