Объемы многогранников, закон ребер Мёбиуса.

Возвращаясь снова к нашим общим исследованиям о площадях и объемах, я начну со следующей исторической справки. Я назову вам человека, впервые последовательно применившего принцип знаков в геометрии — великого геометра Мёбиуса из Лейпцига. Этот решительный успех осуществлен в его юношеском произведении «Барицентрическое исчисление». Это одно из тех сочинений, которые вообще легли в основу новой геометрии. Чтение его уже благодаря одному только прекрасному изложению доставляет особенное удовольствие. Название связано с тем, что Мёбиус с самого начала оперирует с центрами тяжести. А именно: пусть в каких-нибудь трех неподвижных точках на плоскости помещаются три массы (рис. 24), которые, как, например, в случае электрических зарядов, могут быть и положительными, и отрицательными.

Тогда их центр тяжести Р оказывается однозначно определенным и при варьировании масс может «описать» всю плоскость (т. е. занять любое положение на ней). Поэтому эти три массы можно рассматривать как координаты точки Р, причем ясно, что положение точки Р зависит только от отношений этих трех величин. Этим впервые было введено в геометрию то, что мы теперь называем треугольными координатами. Сказанного достаточно для объяснения названия книги Мёбиуса; из ее прочего очень интересного содержания наибольшую связь с нашими исследованиями имеют § 17—20. В них Мёбиус применяет принцип знаков при нахождении площадей треугольников и объемов тетраэдров, причем его определения в точности совпадают с теми, которые я вам изложил.

Рис. 24

Следует еще упомянуть, что Мёбиус, будучи уже в лочтенном возрасте (в 1858 г.), дополнил эти результаты одним плодотворным открытием, которое было впервые опубликовано лишь в 1865 г. в его работе «Об определении объема многогранника».

А именно, в этой работе он показал, что существуют такие многогранники, которым никак не удается приписать определенный объем. Между тем, как мы уже видели, всякому, как угодно сложно переплетающемуся многоугольнику на плоскости можно приписать вполне определенную площадь. На этом удивительном явлении нам следует остановиться подробнее.

Будем исходить из установленной выше формулы для объема тетраэдра

Разложение этого определителя по элементам последнего столбца сводится, совершенно аналогично случаю треугольника (с. 16), к тому, что мы разлагаем наш тетраэдр на четыре других тетраэдра, основаниями которых служат его четыре грани, а общею вершиною — начало координат О.

В результате, обращая внимание на циклическую последовательность и применяя правило знаков теории определителей, получаем такую формулу:

В эту формулу, в отличие от соответствующей формулы для треугольника, в которую входили только знаки плюс, входят также и знаки минус, что объясняется тем, что при циклической перестановке строк определители четного порядка меняют знак, а определители нечетного порядка знака не меняют. Конечно, переставляя подходящим образом строки, можно избавиться от знаков минус, но при этом приходится отказаться от циклического порядка.

Например, можно написать:

Чтобы вскрыть содержащуюся здесь закономерность, представим себе, что поверхность тетраэдра вырезана, скажем, из бумаги и развернута на плоскость грани

2, 3, 4 так, что вершина 1 принимает три различных положения (рис. 25). Тогда вершины каждого бокового треугольника в порядке их записи в последней формуле следуют одна за другой на рис. 25 против часовой стрелки, т. е. в одинаковом направлении обхода для всех треугольников.

Конечно, эту закономерность можно высказать, и не разворачивая пространственной фигуры на плоскость. А именно, каждое из шести ребер принадлежит двум граням, и мы замечаем, что при обходе всех треугольников в установленном выше направлении каждое ребро приходится проходить один раз в одном, другой раз в противоположном направлении.

Рис. 25

Этим правилом, которое Мёбиус назвал законом ребер, очевидно, определяется направление обхода для всех граней, если таковое произвольно задано для какой-нибудь одной грани. Тогда наша формула гласит: тетраэдр можно рассматривать как сумму четырех тетраэдров-частей — с одною и тою же первою вершиною О и с тремя другими вершинами в каждом, расположенными вслед за О в том порядке, который получается по закону ребер Мёбиуса как продолжение направления обхода (2, 3,4).

Выше обобщая формулу разложения треугольника, мы пришли к определению площади любых многоугольников. Совершенно так же попробуем теперь, исходя из последнего результата, дать определение объема любых многогранников. При этом нам придется допустить возможность пересечения, во-первых, сторон отдельного многоугольника, служащего гранью многогранника, а во-вторых, плоскостей этих граней. Затем нам нужно будет фиксировать какую-нибудь вспомогательную точку О и определить прежде всего объем пирамиды с вершиной О, «основанием» которой является некоторая грань многогранника.

Для этого мы должны сперва фиксировать на основании этой пирамиды (пусть это, например, будет грань многогранника на рис. 26) определенное направление обхода. Тогда этот многоугольник получает определенную площадь согласно упомянутой выше формуле. Как и в элементарной геометрии, положим объем пирамиды равным одной трети произведения площади основания на высоту, но только присоединим к нему знак плюс или минус в зависимости от того, представится ли обход , рассматриваемый из О, идущим против или по часовой стрелке.

Рис. 26

Непосредственно видно, что это определение содержит в себе предыдущее определение, относящееся к тетраэдру, как частный случай; впрочем, это определение (относящееся к пирамиде) естественным образом можно получить из предыдущего, заменяя многоугольник, как это делается при определении его площади, суммой треугольников с надлежащим направлением обхода и определяя пирамиду как сумму тетраэдров, проектирующих эти треугольники.