Проективная трактовка геометрии треугольника.
Я хотел бы коснуться еще одного маленького примера; я имею в виду так называемую геометрию треугольника. Здесь с течением времени возникла большая замкнутая область, в особенности благодаря трудам ряда учителей гимназий, трактующая о многих замечательных точках, прямых, окружностях, которые можно определить в треугольнике: центр масс, высоты, биссектрисы, вневписанные окружности, описанная окружность, окружность Фейербаха и т. д.
Бесчисленные соотношения, которые всегда снова и снова старались здесь найти и теперь еще стараются находить, очень легко можно увязать с нашей систематикой: даются три точки 
на плоскости (рис. 102) в качестве вершин треугольника, и так как речь идет исключительно о метрических соотношениях, мы к ним присоединяем обе мнимые циклические точки, выражаемые в координатах прямой уравнением 
(впрочем, мы могли бы попросту присоединить значения 
их точечных координат). Тогда вся геометрия треугольника оказывается не чем иным, 
как проективной теорией инвариантов этих пяти точек, т. е. в конце концов пяти произвольных точек на плоскости, две из которых, однако, словесно выделяются (особыми терминами). Только благодаря этому замечанию геометрия треугольника приобретает характер прозрачной систематической дисциплины, которого иначе в ней не замечают.
Рис. 102
На этом я заканчиваю обзор систематики геометрии. Несомненно, что размещение всех этих вещей описанным здесь образом доставляет эстетическое удовлетворение, а так как к тому же только такая систематика позволяет достичь более глубокого понимания геометрии, то, конечно, каждый математик, 
каждый кандидат на учительскую должность должен быть знаком с ней. Вот почему мне казалось необходимым включить ее в этот курс, тем более, что вам и без того часто придется встречаться в литературе с таким пониманием геометрии, хотя и не всегда, быть может, в столь последовательном изложении. Конечно, было бы прямым извращением нашей мысли, если бы кто-нибудь захотел догматически связывать себя этой систематикой и всегда изображать геометрию только в такой схеме, ибо тогда она очень скоро наскучила бы и потеряла бы всякую прелесть и прежде всего помешала бы новому творческому мышлению, которое всегда развивается независимо от всякой систематики.
Если изложенные выше рассуждения касались как бы архитектуры геометрического здания, то теперь мы обратимся к его не менее важным основаниям.
