V. ТЕОРИЯ МНИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Учение о мнимом, как известно, получило свое развитие прежде всего в алгебре и анализе, в особенности в учении об уравнениях и в теории функций комплексной переменной, где оно отпраздновало свои величайшие триумфы. Но вскоре и в аналитической геометрии начали придавать переменным 
у комплексные значения 
и присоединили, таким образом, к действительным точкам широкий класс комплексных точек, не связывая сперва эту терминологию, Езятую из анализа, с каким-либо геометрическим содержанием в собственном смысле слова 
Польза таких нововведений, конечно, заключается в том, что они делают излишним то различение отдельных случаев, которое становится необходимым, если ограничиться действительными значениями переменных, и дают возможность высказывать общие теоремы, не допускающие никаких исключений. Совершенно аналогичные соображения привели нас уже в проективной геометрии к введению бесконечно удаленных точек, а также заполняемых ими бесконечно удаленных плоскости и прямых. И в первом, и во втором случаях мы делаем то, что довольно удачно называют «присоединением несобственных точек» к собственным, наглядно воспринимаемым точкам пространства.
Мы выполним теперь оба присоединения одновременно. Для этого введем, как и раньше, однородные координаты, следовательно, положим, чтобы оставаться пока что в пределах плоскости, 
и будем допускать для 
также и комплексные значения.
Систему же значений 0, 0, 0 мы исключаем.
Рассматривая при этих условиях, например, однородное квадратное уравнение
мы назовем совокупность всех как действительных, так и комплексных систем значений 
, ему удовлетворяющих (независимо от того, представляют ли они конечные или бесконечно удаленные точки), кривой второго порядка. Очень часто такую совокупность называют просто коническим сечением, но это название может вызвать недоразумения, если не у людей, знающих предмет, то у многих, не привыкших к применению мнимых элементов; ведь определенная таким образом кривая может, например, не иметь ни одной действительной точки.
Рассмотрим комбинацию уравнения (1) с линейным уравнением
которое будем считать определением кривой первого порядка, т. е. прямой линии. Эти два уравнения имеют ровно два общих решения в виде троек 
, т. е. всякая кривая первого порядка и всякая кривая второго порядка всегда «пересекаются» ровно в двух точках, которые могут, конечно, быть действительными или комплексными, конечными или бесконечно удаленными, различными или совпадающими. При этом, конечно, мыслимы вырождающиеся случаи, которые приводят к исключениям из этой теоремы. Если левая часть уравнения (1) распадается на два 
линейных множителя и если один из них идентичен с левой частью уравнения (2), иными словами, если кривая второго порядка является «парой прямых», одна из которых совпадает с прямой (2), то каждая точка этой последней будет общей точкой (обоих образов). Это сводится к тому, что обращаются в нуль все коэффициенты того квадратного уравнения, которое получается при исключении одной неизвестной из обоих заданных уравнений.
Еще более широкие вырождения получаются, конечно, в том случае, если j левая часть одного или даже обоих уравнений сама тождественно обращается в нуль:
или
В дальнейшем, однако, я оставлю в стороне все эти и подобные им особенности, которые по существу являются тривиальными. При таком условии мы имеем право переходя, например, к рассмотрению двух кривых второго порядка, высказать теорему о том, что они всегда имеют ровно четыре общие точки.
