IV. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБРАЗОВ ПО ИХ ПОВЕДЕНИЮ ПРИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ

Общие замечания о преобразованиях прямоугольных пространственных координат.

Прежде всего мы, конечно, должны заняться обзором всех возможных преобразований пространственной ортогональной системы координат; они вообще играют фундаментальную роль для всей геометрии пространства, так что уже поэтому нельзя было бы в этом курсе пройти мимо них.

Самое общее относящееся сюда изменение системы координат слагается, как и на плоскости, из: 1) параллельного переноса; 2) поворота вокруг начала; 3) зеркального отражения; 4) изменения масштаба. Уравнениями параллельного переноса, конечно, будут

Уравнения поворота во всяком случае имеют вид

определением их коэффициентов, которое здесь существенно сложнее, чем на плоскости, мы сейчас же займемся.

Посредством композиции всех возможных преобразований этих двух видов получаются все собственные (т. е. понимаемые в собственном или буквальном смысле слова) движения пространственной системы координат.

Зеркальное отражение (симметрию) можно производить прежде всего относительно какой-нибудь из координатных плоскостей (как на плоскости относительно одной из осей), например относительно плоскости , что дает

Еще одна симметрия описывается формулами, которые имеют более симметричный вид, использующий три отрицательных знака:

это — зеркальное отражение (симметрия) относительно начала координат

На плоскости уравнения соответствуют не зеркальному отражению, а повороту на вообще симметрия относительно начала координат является зеркальным отражением только в пространствах нечетного числа измерений, при четном же числе измерений она представляет собой обыкновенный поворот.

Наконец, изменение масштаба изображается уравнениями

где при это преобразование, кроме изменения масштаба, содержит еще зеркальное отражение.

Займемся теперь ближе формулами поворота. Вообще, поворот около начала Q зависит, как известно, от трех параметров, так как, во-первых, три направляющих косинуса оси поворота соответствуют двум независимым величинам и, во-вторых, угол поворота может быть произвольным. Удобное описание всех поворотов посредством трех параметров дает, как я это показал в моем зимнем курсе, теория кватернионов.

Впрочем, уже Эйлер вывел относящиеся сюда формулы. Я приведу их в том виде, в каком обыкновенно их дают в учебниках механики, а именно, пользуясь девятью направляющими косинусами новых осей по отношению к старым. Исходим из приведенного выше вида уравнений преобразования:

Если — какая-либо точка на старой оси то в новой системе координат она имеет координаты являются косинусами углов между старой осью и тремя новыми осями; точно так же являются направляющими косинусами осей у (в новой системе).

Эти девять коэффициентов уравнений преобразования отнюдь не являются независимыми. Связывающие их уравнения можно получить либо из только что указанного смысла этих величин, либо из известного соотношения, которое имеет место при всякой ортогональной подстановке, т. е. при всяком повороте или зеркальном отражении с сохранением начала координат:

Оно выражает инвариантность расстояния до начала

Мы избираем здесь второй путь:

а) Подставляя (1) в (2) и сравнивая коэффициенты, получаем следующие 6 соотношений между 9 величинами

Р) Умножая три уравнения (1) соответственно на три величины или соответственно и складывая, получим на основании (3) следующие соотношения, представляющие собой решения уравнений (1) относительно :

это, как видим, так называемая транспонированная относительно (1) линейная подстановка, которая получается при перемене местами строк и столбцов в матрице коэффициентов.

b) С другой стороны, по правилам теории определителей получаем такое решение уравнений

где есть определитель этой системы уравнений.

Здесь коэффициент при должен быть одинаков с коэффициентом при в первом уравнении (4), т. е.

вообще, таким образом получаем, что каждый коэффициент ортогональной подстановки должен быть равен соответствующему ему минору, деленному на определитель А.

c) Вычислим теперь этот определитель А системы коэффициентов; для этого, пользуясь теоремой об умножении определителей, составляем его квадрат:

причем столбцы первого определителя мы умножаем на столбцы второго. По формулам (3) для этого квадрата мы получаем

так что окончательно находим

Чтобы остановить наш выбор на одной из этих возможностей, вспомним, что до сих пор мы пользовались только соотношением (2), которое имеет место как при повороте, так и при зеркальном отражении. Но среди всех этих ортогональных преобразований повороты характеризуются тем, что они получаются из тождественного преобразования путем непрерывного изменения коэффициентов соответственно непрерывному перемещению системы координат из первоначального положения в новое; в противоположность этому подстановка, которую мы, вообще, называем зеркальным отражением, получается непрерывным изменением из симметрии сама же эта симметрия не может быть получена из тождественного преобразования путем непрерывного изменения.

С другой стороны, определитель преобразования является непрерывной функцией коэффициентов и потому должен во время непрерывного перехода от тождественного преобразования к какому-нибудь повороту изменяться непрерывно.

Но при этом исходном преобразовании этот определитель имеет значение

а поскольку он, как мы видели, вообще, может быть равным только или —1, то он обязательно должен всегда оставаться равным так как внезапный переход от означал бы разрыв непрерывности.

Итак, при всяком повороте определитель а,

Точно так же для всякого зеркального отражения получается

Теперь формула (5) принимает такой простой вид:

и, вообще, всякий коэффициент в координатной записи поворота прямоугольной системы координат равен соответствующему ему минору.