Привлечения поворотов к построению метрической геометрии.

Если мы теперь пожелаем проникнуть дальше в область метрических понятий геометрии, в частности установить понятия угла между двумя прямыми и расстояния между любыми двумя точками (до сих пор мы могли говорить только о расстоянии между двумя точками, лежащими на оси х или на оси у), то нам придется заняться полной группой движений.

В частности, фиксируем наше внимание на тех движениях, которые оставляют без изменения какую-нибудь точку, например начало О; это будут так называемые повороты около этой точки. Тогда, согласно общему постулату, регулирующему определение движения, должен существовать в точности один поворот, который переводит полупрямую а, исходящую из точки О, в любую другую полупрямую а, тоже исходящую из О (рис. 111).

Рис. 111

Эти повороты являются в некотором смысле двойственными или взаимными по отношению к параллельным переносам, так как они оставляют без изменения некоторую точку подобно тому, как параллельные переносы переводят в себя некоторую прямую. По аналогии с параллельными переносами мы будем представлять себе все повороты также совершающимися непрерывно, исходя из начального положения, и Снова будем говорить о траекториях, которые при этом описывает каждая точка.

Однако между поворотами и параллельными переносами имеется существенное различие, которое мы должны тоже четко формулировать в виде особого постулата: полупрямые получаемые из полупрямой а при повторении одного и того же поворота около О, должны в конце концов либо достичь либо перегнать всякую полупрямую, выходящую из О (в то время как параллельный перенос давал только точки одной полупрямой). Поэтому, в частности, непрерывное вращение должно в конце концов вернуть полупрямую а в ее начальное положение, причем и каждая точка А должна вернуться в свое начальное положение: траектории представляют собой поэтому замкнутые линии, пересекающие каждую полупрямую, исходящую из О, в одной и только одной точке А, так что все отрезки ОА оказываются взаимно конгруэнтными (т. е. могут быть переведены один в другой с помощью движения); таким образом, эти траектории являются тем, что обычно называют окружностями с центром О.

Теперь мы фиксируем в пучке лучей, исходящих из О, с помощью этих поворотов некоторую шкалу совершенно подобно тому, как мы раньше строили шкалу на прямой с помощью параллельных переносов, причем тогда нам приходилось еще принять подходящее допущение относительно непрерывности. Я не стану входить здесь в детали всего этого и отмечу лишь как результат, что в конце концов с каждым поворотом оказывается сопоставленным некоторое действительное число — угол этого поворота, причем и, обратно, каждое действительное число оказывается углом некоторого поворота. Новым моментом является, конечно, здесь периодичность поворота, и поэтому представляется целесообразным избрать в качестве единицы как раз полный оборот, переводящий какой-нибудь, (и вместе с тем и каждый!) луч снова в себя.

Однако, согласно традиции; за единицу принимают поворот в одну четверть полного оборота, который, будучи повторен четыре раза, дает полный оборот, и угол этого позорота называют прямым углом R. Тогда всякий поворот может быть измерен его углом где и может изображать любое действительное число, которое можно ограничить благодаря периодичности интервалом значений от нуля до четырех (рис. 112).

Подобным же образом можно определить шкалу углов в пучке лучей с любым другим центром но вместо этого можно непосредственно перенести при помощи соответственного параллельного переноса шкалу углов из в О

Рис. 112

Рис. 113

А именно, если даны полупрямые исходящие из (рис. 113), и если Т представляет собой параллельный перенос, переводящий О в то назовем буквами а, а те лучи, исходящие из О, в которые переходят лучи а при выполнении обратного параллельного переноса если Q представляет собой поворот около О, переводящий а в а', то поворот около переводящий может быть получен путем последовательного выполнения движений или в непосредственно понятной символике

Действительно, правая часть этого равенства тоже изображает движение, переводящее а такое движение представляется однозначно определенным. И вот мы приписываем повороту такой же угол какой имеет поворот согласно данному выше определению.

Если дан какой-нибудь другой поворот в пучке О, то в пучке ему соответствует поворот а композиция обоих поворотов равна

таким образом, она соответствует композиции поворотов и .

Из этого следует, что наш перекос действительно устанавливает при ту же самую шкалу, какую дало бы повторение прямого приема.

У Евклида имеется теорема, которая перешла в большинство наших элементарных учебников, а именно: все прямые углы конгруэнтны между собой; каждый учащийся, конечно, готов считать это положение самоочевидным, и я полагаю, что в школе действительно можно умолчать о нем, так как все равно школьник не в состоянии постичь заключенной в нем идеи. Но его действительный смысл в точности совпадает с содержанием наших последних рассуждений, а именно. - равные углы, определенные с помощью поворотов около различных точек, можно привести к взаимному наложению с помощью движений, другими словами, они конгруэнтны между собой.

Рис. 114

Установив таким образом, общее определение угла, мы теперь дадим также определение расстояния между любыми двумя точками, тогда как до сих пор мы могли сравнивать только расстояния на одной и той же прямой при помощи параллельных переносов. Если расстояние отложено, например, от О по оси то мы можем (рис. 114) перенести его с помощью поворота около О на всякую другую прямую а, проходящую через О; таким образом можно вообще всю шкалу длин на оси перенести на а, а затем с по мощью параллельного переноса на всякую другую прямую, параллельную а, и, следовательно, вообще на любую прямую. В результате мы действительно получаем возможность измерять расстояние между какими угодно двумя точками, соединяя эти точки прямой и перенося на нее описанным способом масштаб с оси

В частности, таким приемом можно построить масштаб на оси у (который мы вначале считали самостоятельно установленным), исходя из масштаба на оси

Рис. 115

Теперь мы пополним наш аппарат аналитической геометрии этим новым понятием поворота. При этом мы будем пользоваться — на что мы теперь имеем право — вместо общих декартовых координат специальными прямоугольными координатами (рис. 115).

Мы уже знаем (с. 256), что всякое движение изображается некоторой линейной подстановкой переменных

Так как эта подстановка переводит всякую конечную точку снова в конечную, то знаменатель N должен быть постоянным, так что можно принять его равным единице. В частности, для поворота около О имеем так что подстановка принимает такой вид:

Для одного специального поворота, а именно, для поворота на прямой угол мы можем указать непосредственно точную форму этих уравнений. Дело в том, что для наших прямоугольных координат при таком повороте ось переходит в ось у, а ось у — в отрицательную ось так что уравнения принимают такой простой вид:

Теперь вопрос о нахождении формул поворота сводится к такой чисто аналитической задаче: требуется найти такую однократно бесконечную группу подстановок вида (1), которая содержала бы в себе подстановку (2) и для которой всякая подстановка группы, вообще говоря, получается путем -кратной итерации (повторения) из (2), где со обозначает некоторый действительный параметр. В случае рационального это выражение (т. е. -кратную итерацию подстановки ) надо, конечно, понимать в том смысле, что искомая подстановка, будучи повторена q раз, дает как раз результат -кратно итерированной подстановки (1), тогда как иррациональные значения следует аппроксимировать рациональными значениями согласно постулатам непрерывности.

Следует уяснить себе, что здесь не следует предполагать знания каких бы то ни было геометрических фактов, касающихся, в частности, формул поворота прямоугольной системы координат, но зато мы вправе (и действительно хотим) без стеснения пользоваться сведениями из анализа. И хотя получаемое построение не может найти в такой форме непосредственного применения в школьном преподавании, зато оно принимает очень изящный и простой вид.

Отмечу прежде всего, что поворот (2) может быть записан при помощи комплексных чисел одной формулой

Отсюда сразу же заключаем, что дважды итерированная подстановка выразится так:

т. е. посредством уравнения того же вида с той лишь разницей, что вместо i стоит точно так же при -кратной итерации в выше указанном смысле появляется множитель для каждого действительного . В результате получаем такое аналитическое изображение поворота плоскости около О на угол

При точном проведении этого хода мыслей мы, конечно, должны воспользоваться из анализа полным знанием свойств показательной функции а также тригонометрических функций, связанных с нею посредством формулы Эйлера

(не имея, однако, пока надобности в каких-либо представлениях об их геометрическом смысле).

В таком случае мы знаем также число из формулы

тогда

А под всюду следует понимать значение, однозначно определенное такой формулой:

Подставив это значение в (3) и приравнивая действительные и мнимые части, получаем

и это дает нам искомое изображение группы поворотов с помощью более элементарных аналитических символов.

В связи с этим результатом представляется целесообразным принять прямой угол не за единицу, а за угол Мы будем это называть натуральной шкалой углов подобно тому, как мы говорим о натуральном логарифме, желая этим отметить, что эти понятия имеют свое основание в самой природе вещей, хотя обнаружение этого и требует более глубокого проникновения. Пользуясь этой натуральной шкалой, будем вместо писать просто и, таким образом, вместо (4) получаем в качестве формул поворота такие общеизвестные формулы:

Теперь нам следует заняться исследованием того, какие геометрические истины содержатся в этих формулах. Это будут все те элементарные теоремы, которые обычно предпосылают, чтобы затем из них вывести формулы (5).

1. Рассмотрим сначала точку оси находящуюся на расстоянии от начала координат:

Если повернуть эту точку на угол , то формулы (5) дают такие коодинаты ее нового положения:

при этом ради краткости мы опускаем штрихи при координатах новой точки.

Принимая для определенности рассматривая прямоугольный треугольник (рис. 116), образуемый радиус-вектором точки , ее абсциссой и ординатой у, замечаем, что формулы (6) дают соотношения между его сторонами и углом со. Пользуясь соотношением со которое вытекает из тех аналитических определений этих функций, которые здесь положены в основу, получаем из (6) непосредственно

что представляет собой теорему Пифагора., которая получается, таким образом, как следствие наших допущений относительно движений плоскости. Но мы можем переписать (6) еще и в таком виде:

и это дает то элементарное значение тригонометрических функций угла, которое обыкновенно принимают в качестве их определения: косинус и синус представляют собой отношения прилежащего и противолежащего катета к гипотенузе.