Плюккеровы координаты прямой и дальнейшее развитие принципа двойственности.

3) Это построение снова можно представить в более удобном виде, если мы дальше перейдем на путь анализа и для этого посмотрим прежде всего, какую форму принимает принцип двойственности у Плюккера. Как известно, уравнение прямой на плоскости, если его свободный член не рвен нулю, можно записать так:

Эта прямая будет определена, если известны значения коэффициентов и, v, которые, между прочим, в этой записи фигурируют совершенно симметрично с текущими координатами х, у. Мысль Плюккера и состоит в том, чтобы рассматривать u, v как координаты прямой, равноправные с координатами x, у точки, и при подходящих обстоятельствах считать их переменными вместо этих последних.

При этом новом истолковании х, у имеют постоянные значения, и наше уравнение выражает условие того, что некоторая переменная прямая проходит через неподвижную точку х, у, т. е. оно является уравнением этой точки в координатах прямой. Наконец, можно не оказывать предпочтения ни одному из обоих образов в способе выражения и вовсе не указывать, какая именно пара величин рассматривается как постоянная и какая — как переменная; тогда наше уравнение представит собой условие соединенного положения (инцидентности) точки и прямой. Принцип двойственности как раз и опирается на то, что рассматриваемое уравнение совершенно симметрично относительно х, у, с одной стороны, и u, v, с другой, — и в этом свойстве заключается все то, что мы раньше понимали под «двойственностью», присущей теоремам соединения.

Естественно, что в пространстве уравнение прямой заменяется уравнением плоскости

В результате этих соображений можно аналитически развивать геометрию, принимая за основные переменные либо х, у, z, либо и, v, да; при этом слова «точка» и «плоскость» просто переставляются. Таким образом, возникает известное двойственное построен ние геометрии, которое во многих учебниках наглядно выражается тем, что на левой и правой половинах страницы помещаются взаимные теоремы.

Окинем теперь беглым взором возникающие таким образом всегда взаимно двойственные высшие образьй Это даст нам как бы продолжение предыдущей двойственной в себе схемы линейных образов.

Начинаем с того, что рассмотрим х, у, z как определенные, не сводящиеся к постоянным значениям функции некоторого параметра t. Эти функции определяют некоторую пространственную кривую, которая в частном случае (когда функции ) тождественно удовлетворяют какому-либо линейному уравнению с постоянным коэффициентами) мржет быть плоской кривой или, наконец (если они удовлетворяют двум таким линейным уравнениям), вырождается в прямую.

Точно так же, рассматривая и, v, w как функции t, получим однократно бесконечную последовательность плоскостей, которую удобнее всего представить себе при помощи развертывающейся поверхности, огибающей все эти плоскости.

Здесь один из частных случаев состоит в том, что все плоскости проходят через одну точку, т. е. огибаются некоторым конусом, а другой — в том, что все они проходят через одну неподвижную прямую.

Рассматривая же х, у, z как функции двух параметров t, t, получим некоторую поверхность, которая, в частности, может выродиться в плоскость-, дуальной к этому образу является двукратно бесконечная совокупность плоскостей, огибаемых некоторой поверхностью; вырождением этой совокупности служит связка плоскостей, проходящих через одну неподвижную точку.

Выпишем все эти результаты в виде такой таблички:

Это может служить в качестве достаточного примера тех двойственных схем, которые охотно составлялись в продолжение долгого времени.

4) Уже у Плюккера имеется весьма существенное дальнейшее развитие всего этого подхода. По аналогии с тем, как он рассматривает три коэффициента уравнения плоскости как ее переменные координаты, он приходит к мысли рассматривать вообще постоянные, от которых зависит какой-нибудь геометрический образ, — например, девять коэффициентов уравнения поверхности второго порядка — как переменные координаты этого образа, и исследовать, что могут означать те или иные уравнения между ними. Конечно, здесь уже не может быть и речи о «двойственности» в буквальном смысле; она основывалась на специфическом свойстве уравнения плоскости или соответственно прямой быть симметричным относительно коэффициентов и координат.

Сам Плюккер осуществил эту мысль, в частности, для случая прямых в пространстве. Прямая в пространстве определяется в координатах точки двумя уравнениями, которые Плюккер пишет в виде

Четыре постоянные этих уравнений можно назвать координатами прямой в пространстве, нетрудно установить, как они связаны с употреблявшимися раньше (с. 50) характеризующими прямую отношениями которые мы составляли по двум ее точкам, следуя грассманову принципу. Так вот, Плюккер прежде всего рассматривает какое-либо одно уравнение с этими четырьмя координатами; оно выделяет из четырехкратно бесконечной совокупности прямых ее трехкратно бесконечную часть , которую он называет комплексом линий; о его простейшем случае, о линейном комплексе у нас уже шла речь (с. 57). Два уравнения определяют конгруэнцию линий, которую некоторые называют также системой прямых; первый термин должен указывать на то, что речь идет о прямых, общих обоим комплексам Наконец, три уравнения того же вида определяют однократно бесконечную совокупность прямых, покрывающих некоторую поверхность, т. е. некоторую линейчатую поверхность.

Изложение всего этого Плюккер дал в своем произведении «Новая геометрия пространства, основанная на рассмотрении прямой линии как элемента пространства» он умер, когда было почти закончено печатание первой части этого произведения, и я, как его тогдашний ассистент, должен был «заслужить шпоры» изданием второй части.

Общий плюккеров принцип применять любые образы как элементы пространства, а определяющие их постоянные как координаты давал и в дальнейшем повод к интересным исследованиям.

Так, выдающийся норвежский математик Софус Ли, который долгое время работал в Лейпциге, достиг больших успехов со своей геометрией сфер. В ней за элемент пространства берется сфера, которая, как и прямая, зависит от четырех параметров.

Далее, я упомяну еще исследование Штуди «Геометрия динам», которое относится к более позднему времени. В нем Штуди связывает со знакомым уже нам понятием динамы целый ряд интересных относящихся сюда изысканий.