Применение касательных преобразований к теории зубчатых колес.

Теперь я перейду к применениям теории касательных преобразований; здесь интересным образом обнаруживается, что идея касательного преобразования, как и большинство идей, действительно удачных в теоретическом отношении, находит себе на практике широкое поле применений и что ее там действительно применяли еще задолго до ее теоретической разработки. Я имею здесь в виду главным образом старое учение о зубчатых колесах. Оно образует специальную главу кинематики — общего учения о подвижных механизмах, которое, например, для техники машиностроения имеет центральное значение. К этой же области кинематики принадлежат и те прямила, один пример которых мы недавно имели. К кинематике относится и многое из того, о чем я уже не раз должен был говорить в этом курсе: я могу здесь, конечно, выхватывать только небольшие части из каждой отдельной дисциплины и на простых примерах по возможности более наглядно выяснять их смысл назначение. Разобраться же в подробностях после этих набросков вы должны стараться сами, пользуясь специальными курсами.

Задача конструкций из зубчатых колес заключается в переносе равномерного движения с одного колеса на другое. Поскольку же при этом должны быть перенесены также и силы, то недостаточно заставить катиться одно колесо по другому (рис. 86), а необходимо еще снабдить одно колесо выступами, зубцами, которые входили бы в выемки другого. Поэтому задача заключается в придании профилям или образующим этих зубцов такой формы, чтобы равномерное вращение одного колеса вызывало тоже равномерное вращение другого.

Такая постановка вопроса представляется, конечно, и в геометрическом отношении очень интересной. Я сразу же сообщу важнейшую часть решения этой проблемы. А именно, зубцы одного колеса могут быть выбраны, по существу, произвольным образом с такими самоочевидными и обусловленными практической применимостью ограничениями, как, например, то, что отдельные зубцы не должны сталкиваться друг с другом и т. п.; зубцы же второго колеса оказываются тогда вполне определенными, а именно, они получаются из зубцов первого колеса посредством некоторого раз навсегда устанавливаемого касательного преобразования.

Рис. 86

Рис. 87

Здесь будет достаточно дать краткое пояснение хода мыслей, приведшего к этой теореме, не останавливаясь на полном ее доказательстве. Непосредственно видно, что все зависит только от относительного движения обоих колес. Можно поэтому считать, например, что первое колесо совершенно неподвижно, а второе кроме своего вращательного движения, кружит еще вокруг При этом каждая точка, неподвижно соединенная с описывает в неподвижной плоскости колеса некоторую эпициклоиду (рис. 87), причем эта последняя либо будет вытянутой, либо будет иметь острия, либо делать петли в зависимости от того, лежит ли рассматриваемая точка внутри, на или вне периферии колеса Таким образом, каждой точке подвижной плоскости колеса соответствует определенная кривая на неподвижной плоскости колеса если к уравнению, осуществляющему это соответствие, подыскать по вышеуказанному способу касательное преобразование, то как раз и получается то характерное для зубчатых колес касательное преобразование, которое мы имели в виду.

А именно, легко убедиться в том, что две кривые, соответствующие друг другу в силу такого преобразования касания, действительно катятся одна по другой во время относительного движения колес.

Наконец, еще несколько слов о том, какой вид принимает намеченный здесь теоретический принцип при практическом конструировании зубчатых колес. Я приведу только простейший случай так называемого цевочного или прямобочного зацепления. Здесь зубцы колеса являются просто точками (рис. 88) или, вернее, так как точки не дали бы никакой передачи сил, маленькими круглыми цапфами или шипами, так называемыми цевками.

Рис. 88

Рис. 89

Каждому такому маленькому кругу соответствует при касательном, преобразовании некоторая кривая, которая очень мало отличается от эпициклоиды, а именно, является кривой, параллельной к ней и отстоящей от нее на расстоянии, равном радиусу цевки. По этим кривым и катятся наши кружки при вращении колеса эти кривые, следовательно, образуют фланки тех зубцов, которые должны быть насажены на чтобы за них зацеплялись круглые зубцы, цевки, колеса

Имеются еще два зацепления, которые также очень часто применяются на практике, а именно, эвольвентное и циклоидное зацепления. У первого из них — я буду здесь очень краток — профили зубцов обоих колес состоят из эвольвент (развертывающих) окружности (рис. 89), т. е. из кривых, которые образуются при разматывании с круга натянутой нити и эволюты которых являются, следовательно, окружностями; у второй же модели эти профили состоят из дуг дивлоид.

Я надеюсь, что этим я дал вам по крайней мере первоначальную ориентировку относительно тех проблем, о которых идет речь в учении о преобразованиях с переменой элемента пространства; теперь же, перед тем как совсем оставить этот второй раздел, трактующий вообще о преобразованиях, мне остается остановиться еще в виде приложения на одной важной главе, которая не должна отсутствовать в энциклопедии геометрии, а именно, на пользовании мнимыми элементами.