ВВЕДЕНИЕ

Уважаемые слушатели!

Курс, к чтению которого я сегодня приступаю, должен составить непосредственное продолжение и дополнение курса, прочитанного мною в последнюю зиму. Теперь, как и тогда, моя цель заключается в том, чтобы все то, чем вы занимались в области математики за годы студенчества, поскольку оно может представить хотя бы какой-нибудь интерес для будущего учителя, свести воедино, а главное — разъяснить с точки зрения его значения для постановки школьного преподавания математики. Зимою я осуществил эту программу поочередно для арифметики, алгебры и анализа; в текущем семестре очередь за геометрией, которая тогда оставалась в стороне. При этом наши рассуждения должны быть понятны, конечно, и независимо от прошлого курса. Кроме того, я хочу несколько изменить также и самый тон всего курса в целом. На первом плане должен стоять теперь, я бы сказал, энциклопедический момент; вы должны получить обзор всей области геометрии, который даст вам готовые рамки для размещения в них всех отдельных сведений, приобретенных вами за время вашего обучения, чтобы держать их, таким образом, наготове для какого угодно употребления. И лишь после этого сам собою возникнет также и тот интерес к школьному преподаванию математики, который зимою всегда служил для меня исходным пунктом.

Охотно отмечу еще, что во время пасхальных каникул 1908 г. здесь, в Гёттингене, состоялись каникулярные курсы для преподавателей математики и физики старших классов.

На этих курсах я сделал сообщение о моем зимнем курсе, и в связи с ним, а также с докладом профессора здешней гимназии Берендсена возникли очень интересные и живые прения по вопросу о реформе школьного обучения арифметике, алгебре и анализу и, в частности, о введении в школу дифференциального и интегрального исчислений. Участники курсов обнаружили при этом крайне отрадный интерес к этим вопросам, как и вообще к нашим стремлениям создать живую связь между университетом и школой. В направлении тех же стремлений должен воздействовать и мой теперешний курс. Будем надеяться, что он со своей стороны поможет устранению тех старых нареканий, которые нам постоянно — и, увы, часто вполне заслуженно — приходилось выслушивать со стороны школы: хотя университетское преподавание и дает много специальных знаний, тем не менее оно оставляет будущего учителя без всякой ориентировки относительно многих важных вещей общего характера, которыми он позже действительно мог бы воспользоваться.

Относительно материала этих лекций замечу только, что я, как и в моем прежнем курсе, вынужден буду предполагать по мере надобности, что вам известны те основные понятия из всех областей математики, которые сообщаются обыкновенно в других курсах, чтобы иметь возможность сделать ударение на обзоре целого. При этом я буду, конечно, каждый раз стараться настолько помочь ващей памяти краткими указаниями, чтобы вы без труда смогли вполне ориентироваться в литературе. Но, с другой стороны, я буду, как и в первой части, в гораздо большей степени, чем это обыкновенно делается, указывать на историческое развитие науки, на достижения ее великих основоположников. Такого рода разъяснениями я надеюсь содействовать, я бы сказал, вашему общему математическому образованию: наряду со знанием деталей, которое вы черпаете из специальных курсов, должно занять свое место понимание логических и исторических связей целого.

Разрешите сделать еще одно, последнее, замечание общего характера, чтобы избегнуть недоразумения, которое иначе могло бы, пожалуй, возникнуть в связи с внешним отрывом этой «геометрической» части моих лекций от первой «арифметической».

Невзирая на этот отрыв, я выступаю здесь, как и вообще всегда в подобных курсах общего характера, поборником той тенденции, которую я охотнее всего обозначаю словами фузионизм в преподавании арифметики и геометрии, понимая при этом «арифметику» как область, к которой принадлежат не только учение о целых числах, но и вся алгебра и анализ. Другие, особенно в Италии, пользуются словом фузионизм для характеристики стремлений, ограничивающихся одною только геометрией. Дело в том, что с давних пор принято как в школе, так и в университете сперва излагать геометрию плоскости, а затем уже совершенно отдельно геометрию пространства, но при этом, к сожалению, геометрию пространства часто слишком урезывают, и благородная способность к пространственной интуиции, с которой учащиеся приходят в школу, утрачивается. В противоположность этому «фузионисты» хотят с самого начала одновременно трактовать плоскость и пространство рядом друг с другом, чтобы не начинать с искусственного ограничения нашего мышления двумя измерениями. Я присоединяюсь здесь и к этим стремлениям, но в то же время имею в виду, как сказано выше, еще далее идущий фузионизм: в прошлом семестре я постоянно оживлял абстрактные теории арифметики, алгебры и анализа чертежами и графическими методами, которые делают для иного излагаемые вещи гораздо более доступными и часто впервые позволяют понять, зачем ими занимаются; аналогично, я буду теперь с самого начала сопровождать пространственную интуицию, которая, конечно, должна занимать первое место, аналитическими формулами, которые в высшей степени облегчают точную формулировку геометрических фактов.

Как именно все это надо понимать, вы лучше всего увидите, если я сразу же обращусь к нашему предмету; тут в первую очередь мы должны будем заняться рассмотрением ряда простых геометриче-, ских основных образов.