Принцип. Кэли: проективная геометрия — это вся геометрия.

Весь этот ход идей получил в 1859 г. очень важный новый оборот в руках великого английского геометра Кэли. В то время как до сих пор казалось, что аффинная и проективная геометрия являются сравнительно более скудными извлечениями из метрической геометрии, Кэли считает возможным, наоборот, как аффинную, так и метрическую геометрию включить в проективную в качестве ее частных случаев (т. е. «проективная геометрия — это вся геометрия»). Это соотношение, кажущееся, пожалуй, на первый взгляд парадоксальным, обнаруживается в том случае, если к исследуемым фигурам присоединить определенные образы, а именно, бесконечно удаленную плоскость или соответственно окружность сфер на ней-, тогда аффинные или соответственно метрические свойства фигуры оказываются не чем иным, как проективными свойствами расширенной (пополненной) таким образом фигуры.

Рис. 98

Позвольте мне это разъяснить прежде всего на двух очень простых примерах, причем я лишь выскажу в несколько измененной форме уже ранее известные вам факты. То, что две прямые параллельны, не имеет для проективной геометрии вначале никакого значения; если же к данным образам (к обеим прямым) присоединить бесконечно удаленную плоскость, то становится правильным (ср. с. 142—143) то чисто проективное утверждение, что две данные прямые пересекаются на данной плоскости. Нечто подобное имеем в том случае, если прямая расположена перпендикулярно к некоторой плоскости. Это можно свести (ср. с. 189—191) к некоторому полярному соотношению — ведь это есть некоторое проективное свойство нашей фигуры, расширенной присоединением к ней окружности сфер (ср. рис. 98); в самом деле, точка являющаяся следом прямой, и прямая являющаяся следом плоскости на бесконечно удаленной плоскости, должны по отношению к окружности сфер представить полюс иполяру.

Теперь я хотел бы полнее развить намеченный здесь ход идей и показать, как он приводит к некоторому вполне систематическому построению геометрии. Наибольшая заслуга в этом отношении принадлежит англичанам; я уже назвал Кэли и рядом с ним я должен упомянуть еще Сильвестра и Сальмона из Дублина. Эти геометры создали, начиная с 1850 г., ту алгебраическую дисциплину, которую называют в более узком смысле теорией инвариантов линейных однородных подстановок и которая делает возможным при помощи принципа Кэли дать полную систематику геометрии на аналитической основе. Для понимания этой систематики нам необходимо предварительно заняться немного самой теорией инвариантов.