Проекция Меркатора.

Среди конформных отображений первое место занимает так называемая меркаторская проекция, которую открыл около 1550 г. математик Герхард Меркатор, носивший, собственно говоря, чисто немецкое имя Кремер. Меркаторские карты земли вы. найдете в любом атласе.

Меркаторская проекция определяется тем, что нашей аналитической функцией f является в данной; случае логарифм. Поэтому она изображается уравнением

Мы, математики, можем сразу вывести свойства рассматриваемой проекции из этой краткой формулы, тогда как для географов, не имеющих достаточного математического образования, изучение меркаторской проекции представляет, конечно, значительные трудности. Вводя на плоскости полярные координаты (рис. 73), т. е. полагая получим

так что

Предполагаем, что южный полюс земли является центром примененной стереографической проекции; тогда нулевая точка О на плоскости соответствует северному полюсу, а лучи , проходящие через О, соответствуют земным меридианам.

Рис. 73

Рис. 74

Поэтому при меркаторской проекции (рис. 74) эти последние превращаются в прямые , параллельные оси ; северный полюс лежит на них слева, а южный -справа в бесконечности. Поскольку угол определен только с точностью до кратного то отображение бесконечнозначно, и каждая параллельная (горизонтальная) полоса шириною является уже изображением всей земной поверхности. Параллели (на поверхности земного шара), которым в стереографической проекции соответствуют круги , превращаются в меркаторской проекции в параллельные (вертикальные) прямые , т. e. в нормальные траектории к прямым, изображающим меридианы, чего и следовало ожидать, имея в виду изогональность изображения.

В частности, экватору соответствует ось

Теоремы Тиссо. Ограничусь одним этим примером, чтобы побудить вас к дальнейшему изучению многочисленных преобразований теории географических карт; зато я рассмотрю здесь еще одно предложение этой теории общего характера. Кто из вас занимался географией, тот наверное слыхал о теоремах Тиссо, которые он развил в своем трактате. Мы можем очень просто уяснить себе содержание этих теорем, исходя из нашей точки зрения.

Пусть имеем две географические карты, т. е. два отображения поверхности земного шара на плоскость и на плоскость Эти отображения могу быть какими угодно, в частности, не обязаны быть конформными. Но во всяком случае оба они взаимно связаны некоторым соотношением вида

Исследуем только окрестность двух соответственных точек т. е. таких, что

Введем новые переменные определяя их равенствами

Применяя разложение функций по формуле Тейлора, получаем

Здесь производные следует брать в точке а многоточиями обозначены члены высшего порядка малости относительно .

Ограничимся настолько малою окрестностью точки чтобы выписанные линейные члены давали уже достаточное приближение для действительных значений ; при этом мы, конечно, исключаем такие особые точки о, в которых не существует подобной окрестности, следовательно, такие, например, точки, в которых все четыре первые производные одновременно обращаются в нуль, так что линейные члены совсем не дают никакого пригодного приближения. Присматриваясь к получаемым таким образом линейным уравнениям между мы приходим непосредственно к такому фундаментальному предложению, которое лежит в основании рассуждений Тиссо: связь между двумя географическими изображениями одной и той же местности в окрестности любой точки (лишь бы она была неособой) приближенно выражается некоторым аффинным соответствием. Применяя наши прежние теоремы об аффинных преобразованиях, мы действительно получаем все так называемые «предложения Тиссо».

Я напомню только главные моменты. Мы знаем, что прежде всего нужно обратить внимание на определитель аффинного преобразования — здесь, следовательно, на определитель

который, как известно, называют функциональным-определителем функций в точке Случай в этих применениях всегда исключают, ибо тогда небольшая часть плоскости окружающая точку изображается дугой некоторой кривой в плоскости а такое изображение географ едва ли сочтет за приемлемую карту. Поэтому мы должны здесь всегда принимать Раньше мы уже составили себе наглядную картину всех деталей такого аффинного преобразования, поэтому мы можем теперь сразу перенести сюда такое предложение: окрестность точки получается с рассматриваемой здесь точностью из окрестности точки если подвергнуть эту последнюю чистым деформациям в двух взаимно перпендикулярных направлениях и повернуть ее потом еще на некоторый подходящий угол.

В книге Тиссо вы увидите, что он действительно выводит это предложение наглядным образом, так что вы имеете здесь интересный пример того, как представители прикладных наук своими силами удовлетворяют математическим запросам своих дисциплин; математику в таких случаях эти вещи кажутся, конечно, очень простыми, но все же для него поучительно знать, в чем нуждаются эти прикладные науки.

Теперь, наконец, я рассмотрю еще один, последний, общий класс точечных преобразований.