О различии между аналитической и синтетической геометрией.
Но сперва я хотел бы в связи с этим перечислением остановиться на различии между аналитической и синтетической геометрией, связанном с рассмотренными областями.
По своему первоначальному значению синтез и анализ являются различными способами рассуждения и изложения: синтез начинает с частностей и составляет из них все более и более общие и, наконец, самые общие понятия; анализ же, напротив, кладет в основу самое общее и расчленяет его на все более и более мелкие отдельные частные случаи. Таков именно смысл различия, выражаемого, например, названиями «синтетическая» и «аналитическая» химия. В школьной геометрии также говорят соответственно этому об анализе геометрических построений-, принимают, что, скажем, искомый треугольник найден, и расчленяют поставленную задачу на отдельные частные задачи. Но в математике эти слова удивительным образом приобрели совершенно иной смысл: здесь синтетической называют ту геометрию, которая изучает фигуры как таковые без помощи формул, тогда как аналитическая геометрия последовательно пользуется формулами, устанавливаемыми после введения подходящей системы координат. Конечно, при правильном понимании между обоими этими разделами геометрии можно усмотреть только количественную градацию, зависящую от того, выдвигаются ли на первый план в большей степени формулы или фигуры. Ту аналитическую геометрию, которая совершенно абстрагируется от геометрических представлений, вряд ли еще можно назвать геометрией; с другой стороны, синтетическая геометрия не может далеко уйти, если она не привлекает для точного выражения своих результатов целесообразного языка формул. Следуя такому пониманию, мы и поступали до сих пор, с самого начала применяя формулы, а затем уже задавая себе вопрос об их геометрическом значении.
Но в математике, как и всюду, люди склонны к образованию течений; таким образом и возникли школы чистых синтетиков и чистых аналитиков, которые больше всего ценили абсолютную «чистоту метода» и, следовательно, были более односторонними, чем того требует природа вещей.
В результате геометры-аналитики часто тонули в слепых вычислениях, не связанных ни с какими геометрическими представлениями, тогда как синтетики все спасение видели в искусственном избегании каких бы то ни было формул и при этом кончали тем, что развивали свой собственный, уклоняющийся от обычного язык формул. Такие преувеличения в следовании объективным самим по себе принципам, лежащим в основе, всегда приводят в научных школах как бы к процессу окаменения, и тогда новый толчок науке, существенным образом ускоряющий ее развитие, чаще всего приходит извне, т. е. от «сторонних наблюдателей». Так и здесь, в геометрии, лишь специалисты по теории функций впервые выявили, например, различие между аналитическими и неаналитическими кривыми, которое никогда не отмечалось в достаточной степени ни в работах ученых представителей, ни в учебниках обеих названных школ. Точно так же только физики, как было уже упомянуто, дали ход векторному анализу, хотя его основные понятия имеются уже у Грассмана, и все же в учебниках геометрии часто еще и теперь почти не упоминается о векторах как о самостоятельных вещах!
Не раз находились сторонники того, чтобы геометрию, как самостоятельный предмет преподавания, отделить от остальной математики и чтобы вообще разделить математику в деле обучения на ее отдельные дисциплины, и действительно были созданы, особенно в иностранных высших школах, отдельные профессуры по геометрии, алгебре, дифференциальному исчислению и т. д. Однако из наших последних соображений можно как раз сделать тот вывод, что установление таких тесных границ не находит себе оправдания; напротив, в каждой науке должно быть по возможности допущено живое взаимодействие между различными действующими в ней направлениями интересов так, чтобы каждое из них чувствовало себя в принципе представителем всей математики. Я подаю даже голос, следуя той же идее, также за как можно более живую связь математиков с представителями других наук.
