Рельефная перспектива.

b) Второй пример относится к некоторому проективному соответствию с не равным нулю определителем, которое включает в себя центральную перспективу как предельный случай и называется рельефной перспективой. Требуется изготовить такое рельефное изображение некоторого предмета, чтобы оно посылало глазу зрителя, помещенному в определенной точке, такие же лучи, какие оригинал посылал бы наблюдателю, помещенному в соответствующее место.

При надлежащим образом расположенной системе координат это опять-таки означает, что точка-оригинал и точка-изображение должны находиться на одной и той же прямой, проходящей через начало координат:

Все различие по сравнению с предыдущим случаем заключается в том, что оригинал не отображается на плоскость, а лишь сжимается в некоторую узкую часть пространства конечной ширины.

Я утверждаю сразу же, что это преобразование дается формулами

которые представляют собой во всяком случае некоторое проективное преобразование и удовлетворяют, очевидно, уравнениям (1). Определитель, составленный для соответствующих им однородных уравнений

равен

и, следовательно, будет отличен от нуля, если только не будет или

При формулы (2) как раз и переходят в предыдущие формулы центральной перспективы, т. е. наш рельеф весь вырождается в плоскость; случай же дает т. е. каждая точка пространства отображается в нулевую точку, — очевидно, совершенно тривиальное вырождение.

Для определенности примем Чтобы уяснить себе геометрический смысл отображения (2), заметим сперва, что каждая плоскость z = const переходит в параллельную ей плоскость с аппликатой

Взаимное отображение этих двух плоскостей, осуществляемое проектирующими прямыми, исходящими из точки О, является вполне наглядным, так что остается только уяснить себе сам закон (3).

При (соответственно получается Плоскость, проведенная параллельно плоскости на расстоянии является, таким образом, плоскостью схода пространства изображений и образует как бы задний план (фон) рельефа, на который отображается бесконечно удаленный задний план пространства объектов. Важную роль играет еще плоскость, получающаяся при в которой совпадают предмет и его изображение; в самом деле, при получается также . Если теперь z изменяется, возрастая от 1 до , то z монотонно возрастает от 1 до т. е. если мы ограничимся предметами, помещенными позади плоскости то действительно получим в качестве изображения рельеф конечной глубины k. Такое ограничение всегда может и должно иметь место на практике (Рис. 67).

Рис. 67

Составим двойное отношение для точек z, 1, z, 0:

Это показывает, что вообще при отображении (3) два значения z, z в том и только в том случае соответствуют друг другу, если они образуют с точками 1 и 0 двойное отношение определенной величины (не зависящей от 2 и ).

В нашей математической коллекции имеется модель, которая изображает в рельефной перспективе шар на кубе, круглый конус и круглый цилиндр; рассматриваемая с правильного расстояния, она дает очень отчетливое впечатление тел, служащих оригиналом. Конечно, очень большую роль играют здесь психологические моменты. Ибо одно только то, что в глаз вступают такие же лучи, как от некоторого тела, не является еще достаточным для получения впечатления о наличии этого тела; во всяком случае чрезвычайно важной является здесь также и привычка.

А именно, поскольку нам несравненно чаще приходилось видеть шар на кубе, чем приплюснутый эллипсоид на узеньком гексаэдре (таков вид рельефно перспективного изображения), то мы уже заранее склонны объяснить световое впечатление первой из этих двух причин. Более подробное рассмотрение относящихся сюда моментов предоставим психологам.

Ограничусь сказанным для вашего первого ознакомления с применением проективных преобразований в начертательной геометрии. Конечно, все эти замечания настойчиво требуют дальнейшего углубления, и, прежде чем оставить эту область, я хотел бы порекомендовать вам заняться обстоятельным изучением начертательной геометрии, которая, как мне кажется, является необходимой для каждого преподавателя математики.