Параллельное проектирование одной плоскости на другую.

Зато я остановлюсь здесь более подробно на вопросе о применении к правильному изготовлению чертежей, необходимому как для физиков, так и для математиков. Действительно, коль скоро речь идет о параллельном проектировании, то в основе всегда лежат только аффинные преобразования пространства. К сожалению, в этой области правильного изображения пространственных фигур на плоском чертеже поразительно много грешат; как в математических книгах при изображении пространственных конфигураций, так и в книгах по физике при изображении аппаратов вы можете найти совершенно невероятные ошибки. Особенно часто бывает—я привожу только один пример, — что при изображении шара экватор чертят в форме двуугольника из дуг круга (рис. 55, слева). Это, конечно, является полным извращением действительности, ибо на самом деле, как мы сейчас увидим, экватор всегда следует изображать в виде эллипса.

Принцип геометрически правильного изображения заключается в том, что фигуру, которую следует изобразить, проектируют на плоскость чертежа прямолинейными лучами, исходящими из одной точки. Наиболее простые соотношения получаются в том случае, когда представляют себе этот центр проектирования удаленным в бесконечность, т. е. когда изображение выполняют при помощи параллельной связки лучей; это и является тем случаем, который нас здесь интересует. Впрочем, эти разъяснения относятся к области начертательной геометрии.

Рис. 55

Рис. 56

Я ни в коем случае не думаю систематически здесь ее излагать, а хочу только показать вам, какое место она занимает в общем здании всей геометрии. Поэтому я также не всегда буду иметь возможность входить в подробности доказательств.

Начнем с исследования изображения плоской фигуры, т. е. с проекции одной какой-нибудь плоскости Е на другую плоскость Е при помощи параллельной связки лучей. Для этого начало координат О помещаем на линии пересечения плоскостей Е и Е (рис. 56) и направляем вдоль нее ось ось у проводим произвольно на плоскости Е через О, например перпендикулярно к оси и определяем ось у как проекцию оси у на плоскость Е при проектировании с помощью рассматриваемой связки параллельных лучей, так что на плоскости Е получаем некоторую, вообще говоря, косоугольную систему координат. Тогда координаты двух соответственных точек на плоскостях Е и Е оказываются связанными такими соотношениями:

где — некоторая константа, зависящая от заданного положения плоскостей и связки параллельных прямых; таким образом, мы действительно имеем здесь дело с аффинным преобразованием. Доказательство этих формул является настолько простым, что мне вряд ли приходится на нем задерживаться. Отметим, что эти уравнения имеют по сравнению с общей формулой (6) уравнений аффинного преобразования то упрощение, что здесь так что Причина этого, конечно, заключается в том, что ось является линией пересечения оригинальной и картинной плоскостей, так что на ней каждая точка совпадает со своим изображением. Можно сразу получить все существенные свойства нашего отображения, специализируя для случая плоскости все теоремы, выведенные раньше для пространства; так, например, каждой окружности на Е соответствует эллипс на Е и т. д.

Теперь представляется вполне естественным задать обратный вопрос: можно ли любые две плоскости Е, Е, связанные заданным аффинным соответствием, так расположить друг относительно друга, чтобы одна из них получалась из другой посредством некоторого параллельного проектирования.

Для решения этого вопроса будем, исходить из произвольной окружности на плоскости Е и соответствующего ей эллипса на плоскости Е (вместо этого мы могли бы также воспользоваться какими-нибудь двумя соответственными эллипсами). Центру М окружности соответствует центр М эллипса (рис. 57).

Рис. 57

Перенесем теперь эту окружность из плоскости Е в плоскость Е, совмещая ее центр с точкой тогда она либо пересечет эллипс в четырех точках, либо не будет иметь с ним ни одной общей точки. Промежуточный случай касания мы ради простоты оставляем здесь без рассмотрения.

В первом случае, показанном на рисунке, рассматриваем оба диаметра эллипса и которые проходят через упомянутые четыре точки пересечения, лежащие на плоскости им соответствуют в силу нашего аффинного преобразования два диаметра окружности на плоскости Е, которым они равны по построению. Поэтому, вообще, соответственные отрезки, лежащие на прямых и , а также на прямых оказываются равными согласно общему свойству аффинных отображений (см. 4) на с. 112).

Совмещая теперь плоскость Е с Е так, чтобы точка М совпала с М и чтобы совпали прямые одной из названных пар, например, чтобы совпала с а затем выводя плоскость Е за пределы Е в Пространство поворотом вокруг этой прямой как вокруг оси, получаем некоторое аффинное отображение одной плоскости на другую, при котором каждая точка линии пересечения соответствует себе самой.

Тогда легко можно показать — я опять-таки не останавливаюсь на подробностях доказательства, — что все прямые, попарно соединяющие соответственные точки плоскостей, параллельны между собой, каков бы ни был угол, образованный этими плоскостями, т. е. что аффинное отображение плоскостей действительно может быть произведено параллельным проектированием.

Если же наш круг не пересекает эллипса, т. е. если его радиус меньше малой или больше большой полуоси эллипса, то оба общих диаметра становятся — на языке анализа — мнимыми, для чертежника же они вообще не существуют, и все описанное выше построение оказывается невозможным. Тогда, если все же желательно установить это соответствие при помощи некоторого параллельного проектирования, не остается ничего другого, как прибегнуть к гомотетии и увеличивать или уменьшать наш круг до тех пор, пока не получится предыдущий случай; гомотетию (и вообще преобразования подобия) и без того всегда употребляют при копировании изображений (картин) как «перечерчивание картины в другом масштабе». В результате получаем такую основную теорему: каждое аффинное соответствие можно установить, и притом бесчисленным числом различных способов, комбинируя некоторое преобразование подобия с некоторым параллельным проектированием.