О возникновении терминологии и обозначений, используемых в векторном исчислении.

Я не могу вполне понять, почему эта терминология векторного анализа так укоренилась; возможно, это связано с тем, что многим людям доставляют большое удовольствие формальные аналогии с обычными исстари употребляемыми арифметическими действиями. Во всяком случае эти названия для операций над векторами являются в достаточной степени общепринятыми, но что вызвало широкое расхождение во мнениях — так это установление определенной символической записи для этих операций, в особенности для различных видов умножения. В предшествующем курсе я уже рассказал вам, как далеки еще мы здесь от соглашения, несмотря на все старания.

Я предпочитаю совсем не говорить здесь о системах обозначений векторного анализа — иначе я рискую невзначай создать еще одну новую систему!

Между прочим, на конгрессе математиков в Риме (1908) избрали даже интернациональную комиссию, которая должна была предложить единую систему обозначений; однако неимоверно трудно внести единообразие среди большого количества людей, из которых ни один не хочет расстаться со своими привычками если только их не принуждают к этому сила закона или материальные интересы.

Созданная комиссия по унификации векторных обозначений не имела, как и следовало ожидать, ни малейшего успеха. На следующем интернациональном конгрессе в Кембридже (1912) она вынуждена была объявить, что не успела закончить своих работ, и просить о продлении ее мандата до следующего конгресса, который должен был собраться в 1916 г. в Стокгольме, но не состоялся из-за войны. Такая же судьба, по-видимому, постигнет и «Комиссию единиц и величин, входящих в формулы» (сокращенно AEF). Последняя опубликовала в 1921 г. проект обозначения векторных величин и вызвала этим тотчас же самые резкие возражения с различных сторон.

Общеупотребительная теперь терминология векторного исчисления исторически возникла главным образом из двух источников: из гамильтонова исчисления кватернионов и из грассманова учения о протяжении. Трудно читаемые исследования Грассмана оставались, как было уже упомянуто, неизвестными немецким физикам; они долгое время составляли как бы тайное учение узких математических кругов. Напротив, гамильтоновы идеи проникли в английскую физику, прежде всего, благодаря Максвеллу. Но все же в своем «Трактате по электричеству и магнетизму» Максвелл почти всюду пишет векторные уравнения при помощи компонент. Из боязни быть непонятым, он очень мало пользуется особым способом обозначения, хотя, по его мнению, для многих целей в физических рассуждениях является желательным избегать введения координат и с самого начала сосредоточить внимание на самой точке пространства вместо трех ее координат, а также на направлении и величине силы вместо ее трех компонент.

То, что теперь называют векторным исчислением физиков, восходит к работам английского инженера по телеграфии Хевисайда и американца Гиббса. Последний в 1901 г. выпустил свои «Элементы векторного анализа».

Хотя Хевисайд, как и Гиббс, принадлежит к школе Гамильтона, однако оба они включают в свое исчисление идеи Грассмана. И вот по такому-то окольному пути, через работы этих авторов, в немецкую физику проникает векторное исчисление, а с ним грассманово учение о протяжении и гамильтоново исчисление кватернионов.

У Грассмана и у Гамильтона можно констатировать то общее, что оба они ставят своей целью оперировать с самими направленными величинами и только впоследствии переходить к компонентам. Замечательно, что оба они обобщили значение слова «произведение». Возможно, это связано с тем, что свои теории они заранее связывают с учением о комплексных (гиперкомплексных) числах (ср. наше изложение теории кватернионов в томе 1, с. 88—111). Но во всем остальном, как уже было указано, технические выражения у того и другого совершенно различны. Грассману принадлежат названия «линейный элемент», «плоскостной элемент», «внутреннее произведение» и «внешнее произведение», тогда как Гамильтон ввел термины «скаляр», «вектор», «скалярное произведение» и «векторное произведение».

В связи с тем, что ортодоксальные во всем прочем последователи Грассмана заменили очень целесообразные обозначения учителя отчасти другими, а физики смешали воедино, либо модифицировали имеющиеся терминологии, а также проявили крайне большой произвол по отношению к знакам отдельных операций, получается, наконец, даже для специалиста большая неразбериха в этой математически совершенно простой области. В этой путанице надежной путеводной звездой является принцип, высказанный на с. 43—44. Следуя ему, можно так охарактеризовать теории Гамильтона и Грассмана: тогда как Грассман в своем «учении о линейном протяжении» занимается теорией инвариантов, которые принадлежат к группе «аффинных» преобразований, не меняющих положения начала координат, тот же

Грассман в своем «полном учении о протяжении» и Гамильтон в своем «исчислении кватернионов» кладут в основу своих исследований группу поворотов. При этом Гамильтон поступает совершенно наивным образом: он не знает того, что выбор ортогональной группы допускает известный произвол. Наряду с этим могут возникнуть, как уже было объяснено, новые различия в связи с тем, что мы один раз допускаем, а в другой отбрасываем как нечто излишнее зеркальное отражение (относительно начала) всех координатных осей.

Можно лучше всего уяснить себе все положение дел на примере понятий «внешнее произведение» (свободный плоскостной элемент), «векторное произведение» и «вектор». Тот, кто избирает группу ортогональных преобразований, исключая при этом симметрию, тот не делает никакой разницы между этими тремя величинами. Поэтому Грассман в своем «полном учении о протяжении» изображает свободный плоскостной элемент (параллелограмм, снабженный определенным обходом) посредством вектора, который он называет «дополнением» этого плоскостного элемента и который вполне соответствует вектору, называемому физиками векторным произведением. Если же допущена симметрия, то «плоскостной элемент» и «векторное произведение» следует считать геометрическими величинами одного рода, отличными, однако, от «вектора». Это соответствует обычному в физике разделению векторов на полярные и аксиальные. Переходя же к группе аффинных преобразований, уже нельзя считать грассманов свободный плоскостной элемент и векторное произведение геометрическими величинами одного и того же рода.

Прежде чем закончить этот экскурс, я хотел бы особенно подчеркнуть, что для нашей общей точки зрения вопросы обыкновенного векторного анализа представляют собою лишь часть обширного множества общих проблем. Например, скользящие векторы, связанные плоскостные элементы, винты и динамы в векторном анализе на первых порах совсем не принимаются, во внимание. А между тем уже для действительного понимания операций самой векторной алгебры необходимо смотреть, на них как на части более обширного целого; только, при таком условии ясно выступает лежащий в их основании принцип определения геометрических величин по их поведению при различных видах ортогональных преобразований координат.