Поведение основных геометрических образов при проективных преобразованиях.

7) После этого отступления будем продолжать начатое нами в п. 5) исследование поведения основных геометрических образов при проективном или, как мы теперь можем также сказать, при коллинеарном преобразовании. Мы видели там, что неограниченная плоскость или прямая переходят при проективном преобразовании в образы того же рода, так что эти понятия сохраняют при проективных преобразованиях определенный, неизменный смысл.

В этом своем свойстве общие проективные преобразования сходны с аффинными, но они отличаются от этих последних своим поведением по отношению к понятию параллелизма. А именно, при проективных преобразованиях сохранение параллелизма двух прямых, имевшее место при аффинных преобразованиях (с. 112), перестает быть обязательным.

Наоборот, бесконечно удаленная плоскость одного пространства может перейти в любую конечную (т. е. не бесконечно удаленную) плоскость другого пространства в его плоскость: сходам при, этом бесконечно удаленной точке, общей двум параллельным прямым, соответствует вообще говоря, некоторая лежащая на конечном расстоянии; точка, плоскости схода, в которой пересекаются прямые, соответствующие обеим параллельным прямым; за этим можно в точности проследить, например, при помощи однородных координат. В то же время мы, несомненно, убеждаемся также и в том, что понятие параллелизма не подвергается бессмысленному уничтожению, но что оно уступает место такому более общему представлению: бесконечно удаленные точки пространства заполняют некоторую, плоскость, которая может быть проективно переведена во всякую другую (конечную) плоскость пространства и которая в силу этого оказывается совершенно равноправной со всеми этими плоскостями; ее только в известной мере произвольно выделяет предикат «является бесконечно удаленной». «Параллельными» называются тогда такие прямые (а также плоскости), пересечение которых лежит в этой выделенной плоскости; проективное преобразование может привести к тому, что они пересекутся в определенной другой плоскости и тогда их уже не называют параллельными.

В связи с этим свойством находится и то, что по отношению к проективным преобразованиям грассмановы основные образы тоже теряют свой инвариантный характер. Свободный вектор не переходит более в свободный же вектор, скользящий вектор уже не переходит в скользящий и т. д.

В самом деле, рассмотрим линейный элемент пространства R с шестью координатами

и образуем аналогичные величины из координат точек связанных с точками проективным преобразованием

В силу этих формул выражения для принимают форму дробей, числители которых могут быть представлены как линейные комбинации одних только шести величин с постоянными коэффициентами, тогда как их общий знаменатель

содержит сами координаты точек и не может быть выражен исключительно через Таким образом, кординаты преобразованного линейного элемента зависят не только от координат первоначального элемента, но и от специального положения его начала и конца, поэтому при передвижении отрезка 1 2 вдоль его прямой будут сохранять свои значения, но вообще говоря, будут при этом изменяться, так что отрезок не является линейным элементом в грассмановом смысле.

В противоположность этому неограниченная прямая при проективном преобразовании сохраняется как таковая; это объясняется тем, что она изображается отношениями величин X: из которых снова выпадает служивший помехой знаменатель, общий всем шести величинам; таким образом, эти отношения действительно выражаются исключительно через отношения X:

8) Мне осталось назвать еще несколько важных образов, которые при проективном преобразовании переходят в образы того же рода. Прежде всего всякое квадратное уравнение относительно получается, — в чем можно убедиться, если умножить его на квадрат общего знаменателя — из некоторого квадратного уравнения относительно , и наоборот. Это значит, что каждой поверхности второго порядка в пространстве R соответствует такая же поверхность в пространстве R. Поэтому и пересечение такой поверхности с плоскостью, т. е. любая кривая второго порядка, тоже переходит в некоторую кривую второго же порядка. Аналогично этому, вообще, всякий алгебраический образ, определяемый одним или несколькими уравнениями относительна координат, преобразуется в однотипный с ним образ того же порядка; следовательно, тип (род) таких образов инвариантен по отношению к проективным преобразованиям.

9) Наряду с этими инвариантными образами, определяемыми посредством уравнений, я должен еще указать на одну числовую величину, значение которой остается неизменным при всех проективных преобразованиях; она заменяет собой до некоторой степени понятия расстояния и угла, величины которых, как известно, не являются инвариантными даже при аффинных преобразованиях, не говоря уже о проективных. имею в виду, если говорить сначала о прямой, известную функцию расстояний четырех точек 1, 2, 3, 4, как-нибудь расположенных на прямой, а именно, упомянутое уже выше двойное отношение (с. 15)

В самом деле, инвариантность этой величины по отношению к проективным преобразованиям легко может быть проверена вычислением, что мы, впрочем, еще раз сделаем в дальнейшем, исходя из других точек зрения.

Совершенно аналогично обстоит дело и с пучками прямых, если только брать вместо самих углов их синусы. А именно, обозначая через 1, 2, 3, 4 прямые (или плоскости) некоторого пучка, получаем для их двойного отношения следующее выражение:

Так как двойные отношения были первыми числовыми инвариантами проективных преобразований, с которыми случилось встретиться, то очень часто проективные геометры видели конечную цель всех стремлений в том, чтобы все дальнейшие инварианты проективных преобразований свести к двойным отношениям, хотя это и выглядело часто очень искусственным. Нам еще придется в дальнейшем вернуться к более детальному изучению этих соотношений,

Этих немногих указаний достаточно, чтобы показать вам, как можно через весь геометрический материал провести резкую разграничительную линию в зависимости от его отношения к проективным преобразованиям.

Все, что сохраняется при этих преобразованиях, составляет предмет возникшей в последнее столетие проективной геометрии о которой я уже говорил раньше и которую мы в дальнейшем должны будем изучить еще более глубока.. Это название, ставшее теперь общеупотребительным, лучше часто применявшегося раньше названия «геометрия положения», которым хотели подчеркнуть ее противопоставление «геометрии меры» или «элементарной геометрии», охватывающей все, также и проективно не инвариантные, геометрические свойства. Ибо старое название совершенно скрывает то, что многие метрические свойства, в частности значение двойного отношения, тоже принадлежат к этой дисциплине.