Школа Пеано.
Еще дальше, чем Веронезе, пошла в том же абстрактном направлении так называемая школа Пеано. Дж. Пеано, живший в Турине, стремился к тому, чтобы провести чисто логическую, свободную от элементов интуиции обработку математики во много раз строже, чем это имело место в рассмотренных до сих пор аксиометрических исследованиях; для этой цели он придумал особый язык формул (так называемую идеографию), который должен заменить обыкновенный язык.
При этом Пеано исходит из той мысли, что иначе невозможно избежать вмешательства нелогических моментов по причине многочисленных ассоциаций, невольно вызываемых привычными нам словами.
Это приводит в конце концов к идеалу, состоящему в том, чтобы оперировать с символами (которые сами по себе лишены всякого значения) по «произвольным» правилам, которые тоже в свою очередь сами по себе ничего не должны означать. Пеано основал большую школу, которая теперь в Италии пользуется широким распространением и большим влиянием. Вместе со своими учениками он издает так называемый «Формуляр», в котором все отделы математики должны быть изложены на языке формул со стороны их чисто логического содержания.
Спросим себя, благоприятствует ли прогрессу науки такое, доведенное до крайности подчеркивание чисто, логических моментов? Я воспользуюсь таким сравнением: многие люди, поднимаясь из долины на гору, испытывают удовольствие от вдыхания более чистого и разреженного воздуха; однако отсюда не следует, что все большее и большее разрежение воздуха всегда будет повышать хорошее самочувствие; существует граница, за которой вообще прекращается всякая возможность существования. Подобно этому я полагаю, что то воодушевление, с каким логики стремятся изгнать всякую интуицию (насколько это, вообще, возможно, так как символы Пеано как таковые тоже вносят в его систему еще некоторый остаток интуитивных элементов!), является несколько необдуманным; хотя иные, быть может, вначале и очень приятно себя чувствуют в этой более чистой логике, однако и здесь существует некоторый оптимум в распределении долей логики и интуиции, который нельзя без вреда переходить в сторону увеличения доли первой!
Конечно, с точки зрения чистого исследования следует приветствовать всякий новый подход и ожидать от него новых успехов и импульсов. Но в данном случае необходимо вынести наше заключение также и с точки зрения педагогики, так как эти абстрактные тенденции, по-видимому, во многих случаях оказывали влияние также и на школьное преподавание.
Такое заключение должно будет носить более отрицательный характер: можно, несомненно, ожидать того, что при школьном преподавании в таком духе многие ученики совсем ничему не научатся, а те немногие, которые вообще в состоянии будут следить за учителем, получат от преподавания во всяком случае не то, что они смогли бы применить в будущем.
