Включение основных понятий метрической геометрии в проективную схему.

Теперь я перейду к метрической геометрии, причем и здесь я приведу только несколько характерных примеров. Я покажу, как можно вывести из систематики теории инвариантов оба важнейшие основные понятия: «расстояние между двумя точками и угол со между двумя плоскостями

Согласно известным формулам аналитической геометрии имеем

Это — алгебраические, соответственно трансцендентные функции параметров; мы будем вправе обозначать их названием алгебраические, соответственно трансцендентные, инварианты, если мы покажем, что те рациональные составные части, из которых они построены, уже сами по себе являются инвариантами в прежнем смысле слова.

Начнем с угла . Та фигура, инвариантом которой он должен быть, состоит из двух линейных форм

и из квадратичной формы в плоскостных координатах, изображающей окружность сфер:

Из этой квадратичной формы в плоскостных координатах мы можем, конечно, образовывать инварианты точно таким же образом, как раньше (с. 218-219) из форм в точечных координатах, но только обменивая («дуализируя») каждый раз точечные и плоскостные координаты. В частности, оказываются инвариантными значения формы для обеих заданных систем значений

как и образованное для этих двух систем значение их полярной формы

т. е. те значения, из которых как раз и составляется фактически . Впрочем, со оказывается однородным инвариантом нулевого измерения относительно каждой из двух систем значений а также относительно коэффициентов 1, 1, 1, 0 заданной квадратичной формы, так что это выражение имеет в метрической геометрии самостоятельное значение. Ведь фактически в метрической геометрии имеется абсолютная мера углов, не зависящая от произвольного выбора единицы измерения. Этим одновременно сказано, что наше выражение является абсолютным инвариантом.

Что же касается, далее, расстояния , то следует вспомнить, что мы составляли инварианты квадратичной формы в точечных координатах путем окаймления ее определителя координатами одной из двух плоскостей (с. 219-220). Таким же образом мы и теперь получим инварианты для нашей фигуры, которая состоит из квадратичной формы в плоскостных координатах и из двух точек; для этого мы, поступая в точности взаимным (дуальным) образом, окаймляем определитель формы

один или два раза кординатами данных точек.

Из полученных таким образом инвариантов составляем частное

Вычисляя эти три определителя, нетрудно найти, что это частное в точности равно вышеуказанному значению, чем и доказывается его инвариантная природа. Впрочем, подобно ранее рассмотренному фундаментальному инварианту аффинной геометрии, это частное, конечно, является однородным нулевого измерения относительно координат обеих точек, но не по отношению к коэффициентам заданной квадратичной формы, относительно которых оно оказывается однородным измерения — 4. К тому же оно не представляет собой абсолютного инварианта, так как каждый из трех входящих в его состав определителей имеет вес так что частное имеет вес Вследствие этого числовое значение само по себе не имеет в метрической геометрии непосредственного значения, и действительно, к измерению расстояния двух точек можно приступить лишь после того, как еще один отрезок (единица) произвольно фиксирован, иными словами, дополнительно присоединен к фигуре наряду с фундаментальной квадратичной формой. Абсолютные инварианты метрической геометрии могут быть изображены только с помощью отношений (частных), составленных из выражений указанного вида.

Здесь я тоже не имею возможности входить в рассмотрение дальнейших подробностей, но эти примеры дадут вам, по крайней мере, приблизительное представление о том, как выглядит возникающая здесь полная систематика аффинной и метрической геометрии, вырастающая из систематической классификации целых рациональных инвариантов.