Подробности взаимоотношений между плоскостью и сферой можно сделать вполне наглядными, если воспользоваться для отыскания соответственных точек связкою лучей, исходящих из нулевой точки; я приведу здесь без доказательства только следующие теоремы:
1) Отображение является взаимно однозначным без каких-либо исключений, если рассматривать бесконечность на плоскости как одну точку, соответствующую точке О сферы.
Рис. 72
2) Окружностям на сфере соответствуют окружности на плоскости, в частности, окружностям на сфере, проходящим через О, соответствуют на плоскости окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку, т. е. прямые линии.
3) Соответствие между обеими поверхностями сохраняет углы; оно, как говорят, конформно.
То, что эта стереографическая проекция имеет в теории функций крупнейшее значение, всем вам должно быть известно; я напомню, что в предыдущем курсе мы уже очень часто применяли ее с большой пользой. Из прикладных наук, в которых она играет не менее важную роль, следует здесь особенно отметить географию и астрономию; она была известна уже античным астрономам, и еще теперь вы найдете в каждом атласе изображения полушарий и полярных стран земли в стереографической проекции. Из этой же прикладной области я заимствую еще несколько примеров.
По третьей из формул (3) уравнением этой сферы будет
является, следовательно, сфера с центром в точке 
оси 
и радиусом, равным 
; она проходит через нулевую точку и касается картинной 
плоскости 
(рис. 72).
