Грассманово «учение о протяженности»; многомерная геометрия.

С. За пределы этой «новой геометрии», в которой все же основную роль играют неограниченная прямая и неограниченная плоскость как элементы пространства, выходит начатое в 1844 г. Грассманом развитие идей, ставящее на первое место ограниченные линейный, плоскостной и пространственный элементы и приписывающее им компоненты, следуя принципу Определителей-, об этом мы уже говорили подробно. Эти идеи прекрасны тем, что здесь мы идем навстречу потребностям механики и физики несравненно более плодотворным образом, чем это достигается, например, геометрией прямой или принципом двойственности.

Конечно, все эти направления ни в коем случае не являются столь резко обособленными, как это я здесь изобразил ради лучшего обзора. На самом деле все сводится только к тому, что Плюккер больше веса придавал понятию неограниченной прямой, а Грассман — понятию линейного элемента, хотя у каждого из них при случае встречается и другой образ. В частности, имя Штуди могло бы собственно быть упомянуто и в этом, и в предыдущем разделе.

Но я хочу еще подчеркнуть, что Грассман ни в коем случае не ограничивался непосредственно применимыми вещами; напротив, в своем свободном творчестве он выходил далеко за их пределы. Наиболее важным представляется то, что он ввел в рассуждения неопределенное число координат точки вместо трех координат и таким образом пришел к геометрии «n-мерного» пространства (или пространства измерений), настоящим творцом которого является именно он.

Следуя своему всеобщему принципу, он рассматривает в таком высшем пространстве матрицы из координат точек, миноры которых дают ему целый ряд основных образов в пространстве аналогичных линейному и плоскостному элементам. Я уже упоминал, что получаемую таким образом абстрактную дисциплину Грассман назвал учением о протяжении.

Эта идея пространства измерений получила в последнее время дальнейшее развитие в том отношении, что стали рассматривать бесконечное количество координат («в бесконечность» или «до бесконечности») и соответственно этому говорить о бесконечномерном пространстве . С тем, что такие рассуждения не лишены смысла, вы согласитесь, если вспомните, например, об операциях со степенными рядами: степенной ряд задается совокупностью всех своих бесконечно многих коэффициентов и может быть в силу этого изображен (истолкован) в виде точки в

При этом замечательным и признаваемым теперь всеми математиками является то, что такой геометрический язык в случае и даже бесконечно большого числа переменных доставляет действительную пользу; благодаря ему все рассуждения становятся гораздо живее, чем если держаться одних только аналитических выражений, и вскоре достигается такая ловкость в употреблении новых геометрических представлений, как если бы мы в находились у себя дома. Вопрос о том, что именно в действительности скрывается за этим явлением и не сказывается ли здесь некоторое естественное предрасположение человека, которое только из-за ограниченности нашего опыта обыкновенно развивается лишь в двух и трех измерениях, пусть решают психологи и философы!

Но если я должен здесь также ориентировать вас относительно роли математики в общей культуре, то следует еще в нескольких словах затронуть тот оборот, который придал идее многомерной геометрии в 1873 г. лейпцигский астроном Цёльнер.

Здесь перед нами один из редких случаев проникновения математической терминологии во всеобщее сознание, — ведь теперь каждый человек употребляет обороты речи, содержащие «четвертое измерение». Эта популяризация «четвертого измерения» началась с тех опытов, которые спирит Слейт проделал перед Цёльнером. Слейт выдавал себя за медиума, который находится в непосредственном общении с духами, и его сеансы заключались, между прочим, в том, что предметы по его желанию исчезали и вновь появлялись. Цёльнер отнесся доверчиво к этим экспериментам и создал для их объяснения такую физико-метафизическую теорию, которая получила широкое распространение. Согласно этой теории истинные физические процессы протекают в пространстве четырех или еще большего числа измерений, мы же в силу наших природных данных можем воспринимать только некоторое трехмерное его «сечение» но особенно предрасположенный медиум, который, например, находится в общении с существами, живущими вне нашего пространства, может по произволу как удалять из него предметы — и они становятся тогда для нас невидимыми, — так и возвращать их обратно. Обыкновенно эти соотношения уясняют себе при помощи картины существ, которые связаны с какой-нибудь двумерной поверхностью и способны к восприятиям только в пределах этой последней; для примера представим себе образ жизни известного рода животных, хотя бы клещей; Если с поверхности, на которой живут эти существа, убрать какой-нибудь предмет, то для них (так себе это представляют) он будет казаться совершенно исчезнувшим; совершенно аналогично представляет себе Цёльнер эксперименты Слейта. Было составлено много подробных описаний жизни таких двумерных существ; особенно занимательно делает это анонимный автор английского произведения «Плоская страна».

В нем автор очень точно описывает вид двумерного мира; отдельные существа различаются по своей геометрической форме, которая тем сложнее, чем выше их организация.

Правильные многоугольники являются высшими существами; женщины, относительно которых автор держится очень неважного мнения, имеют просто форму черты и т. д.

Конечно, мне здесь не приходится подробно распространяться о том, что математическое понимание многомерной геометрии не имеет ничего общего с метафизическими рассуждениями Цёльнера. Математика выступает здесь, если употребить современный термин, в роли чисто нормативной науки, которая рассматривает формально возможные сочетания вещей и существует совершенно независимо от естественнонаучных или от метафизических фактов.