Формулы преобразования некоторых элементарных величин.
Теперь мы обращаемся к нашей настоящей задаче: установить, как ведут себя координаты элементарных пространственных образов (линейного элемента X, Y, Z, L, М, N, плоскостного элемента 
и, наконец, пространственного элемента Т) при четырех видах изменения прямоугольной системы координат.
Выписывать все формулы преобразований было бы и длинно, и скучно; поэтому отмечу только некоторые моменты, заслуживающие особого интереса.
За, мечу прежде всего, что во всех формулах преобразования координат линейного элемента его первые три координаты X, Y, Z в новой системе выражаются, в чем вы сами легко убедитесь, исключительно через X, Y, Z, т. е. так, что L, М, N совсем не входят в их выражения; при этом новые координаты выражаются через старые линейно-однородно.
Следовательно, согласно ранее высказанному общему принципу (с. 43-44), совокупность трех величин X, Y, Z уже сама по себе определяет некоторый геометрический образ, не зависящий от системы координат. Это — свободный вектор, о котором мы уже упоминали (с. 49-50).
Точно так же в случае плоскостного элемента в формулы преобразования его трех координат 
четвертая не входит, так что и эти три координаты тоже имеют не зависящее от координат геометрическое значение; они определяют ранее упомянутый свободный плоскостной элемент 
Вычислим теперь, как, в частности, ведут себя три координаты свободного вектора X, Y, Z при наших преобразованиях 
Для этого в равенства 
подставляем вместо 
их выражения по формулам 
через х, у, z. Это сразу же дает нам:
1. При параллельном переносе
2. При повороте
3. При симметрии относительно начала координат
4. При изменении масштаба
Итак, при параллельном переносе системы координат координаты свободного вектора совсем не изменяются, а при прочих преобразованиях они ведут себя таким же образом, как координаты точки.
Сравним с этим результатом формулы преобразования для пары сил, которые мы получим из формул преобразования координат линейного элемента, полагая дополнительно 
Тогда, конечно, будет 
, а для моментов вращения по отношению к новым осям получаются такие формулы:
1. При переносе
2. При повороте
3. При симметрии относительно начала координат
4. При изменении масштаба
Как видим, при параллельном переносе системы координат и при симметрии относительно начала координаты пары сил не изменяются вовсе; при повороте они ведут себя, как координаты точки, а при изменении масштаба умножаются на 
т. е. имеют измерение 2 (измерение площади), тогда как свободный вектор имеет измерение 1 (как и координаты точки).
Вывод формул 
не представляет никаких трудностей; только для 
будут, пожалуй, уместны некоторые разъяснения. А именно, при помощи поворота 
получаем 
Раскрывая последний определитель, получаем 
членов, среди которых три пары (например, 
) взаимно уничтожаются; оставшиеся 12 членов можно соединить в следующую сумму произведений определителей:
По формуле (7) для миноров системы коэффициентов поворота (с. 68) первые множители оказываются как раз равными 
тогда как вторые множители равны L, М, N. Это действительно дает приведенную ранее формулу для 
точно так же выводятся две другие формулы для 
Наконец, в качестве третьего образа рассмотрим свободный плоскостной элемент; совершенно простые вычисления, подобные предыдущим, выполнение которых я, конечно, могу предоставить вам самим, приводят к такому результату: компоненты 
свободного плоскостного элемента во всех случаях преобразуются совершенно таким же образом, как координаты L, М, N пары сил.
Для лучшего обозрения всех этих результатов сведем их в нижеследующую маленькую табличку. Она дает преобразованные первые координаты, из которых остальные получаются циклической перестановкой букв:
