ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ

I. ОТРЕЗОК, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ КАК ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Определение с помощью детерминантов; истолкование знаков.

Вы видите уже из заголовка, что, следуя намерению придерживаться фузионистских точек зрения, я с самого начала одновременно трактую соответствующие друг другу величины на прямой, на плоскости и в пространстве. Но в то же время, в соответствии с более общей фузионистской тенденцией, мы для аналитической формулировки будем с самого начала принципиально пользоваться обычной прямоугольной системой координат.

Начнем с отрезка, лежащего на оси если концы этого отрезка имеют абсциссы его длина равна и эту разность можно, очевидно, записать в виде такого определителя:

Совершенно аналогично площадь треугольника, лежащего в плоскости х, у и имеющего вершины в точках 1, 2, 3 с координатами равна

Наконец, для объема тетраэдра с вершинами в точках 1, 2, 3, 4 с координатами имеем выражение

Обыкновенно говорят, что длина, площадь, объем равны абсолютному значению (модулю) написанных в правых частях величин, тогда как наши формулы дают, кроме того, вполне определенный знак (плюс или минус), зависящий от той последовательности, в которой заданы точки. Примем за правило применять всюду в геометрии знаки, даваемые этими аналитическими формулами; в соответствии с этим мы должны спросить себя, какой геометрический смысл может иметь тот или иной знак при таких определениях величин геометрических образов.

В этом вопросе имеет большое значение то, как мы выбираем прямоугольную координатную систему, и поэтому мы теперь же условимся раз навсегда придерживаться в этом отношении одного определенного (разумеется, произвольного) соглашения. В случае одного измерения будем всегда считать положительную ось х направленною вправо. На плоскости будем положительную ось х направлять вправо, а положительную ось у — вверх (рис. 1); если бы последняя была обращена вниз, то получилась бы существенно иная система координат, представляющая собой зеркальное отражение первой системы; эту вторую систему невозможно наложить на первую посредством непрерывного передвижения ее по плоскости, не выходя из плоскости в пространство.

Рис. 1

Рис. 2

Наконец, пространственную систему координат считаем возникающей из нашей плоской системы путем присоединения к ней оси z с положительным направлением вперед (рис. 2); принятие противоположного направления оси z за положительное снова дало бы существенно иную систему координат, которую никаким непрерывным движением в пространстве невозможно было бы наложить на первую систему.

Придерживаясь постоянно этих соглашений, мы найдем истолкование знаков правых частей в простых геометрических свойствах того чередования точек, которое обусловливается данной их нумерацией.

В случае отрезка (1,2) это свойство почти очевидно: выражение длины отрезка получает положительное или отрицательное числовое значение в зависимости от того, лежит ли точка 1 справа или слева от точки 2.

Рис. 3

В случае треугольника находим, что формула дает для площади положительное или отрицательное значение в зависимости от того, осуществляется ли против или по часовой стрелке обход контура треугольника, ведущий от вершины 1 через вершину 2 к вершине 3. Для доказательства мы вычислим сперва определитель, дающий площадь, в случае одного специального, как можно удобнее расположенного треугольника, а затем разберем и общий случай, пользуясь идеей непрерывности. А именно: рассматриваем треугольник с вершиною I в «единичной» точке оси с вершиною 2 в единичной точке оси и с вершиною 3 в начале координат Согласно нашему условию относительно выбора системы координат обход этого треугольника осуществляется против часовой стрелки (рис. 3), а наша формула дает для его площади положительное значение:

Непрерывно деформируя этот треугольник, можно его вершины перевести в вершины любого другого треугольника с тем же направлением обхода, не давая им при этом ни разу оказаться всем трем на одной прямой.

При этом наш определитель будет изменяться тоже непрерывно, а так как он обращается в нуль, как известно, только в том случае, когда точки 1, 2,3 лежат на одной прямой, то он будет во время этого процесса деформации сохранять положительное значение. Этим доказано, что площадь всякого треугольника с направлением обхода против часовой стрелки положительна.

А поменяв местами две вершины исходного треугольника, увидим тотчас же, что для всякого треугольника, имеющего обход по часовой стрелке, наша формула дает отрицательную площадь.

Рис. 4

Совершенно аналогично можем поступить и в случае тетраэдра. Снова исходим из возможно более удобно расположенного тетраэдра: пусть первой, второй и третьей вершинами служат единичные точки осей , а четвертой — начало координат (рис. 4). Его объем равен

Отсюда, как и раньше, следует, что всякий тетраэдр, который можно получить из этого исходного тетраэдра, непрерывно его дефрмируя, но не давая при этом ни разу всем четырем вершинам оказаться в одной плоскости (т. е. не давая определителю обратиться в нуль), имеет положительный объем.

Все такие тетраэдры можно охарактеризовать тем направлением обхода, который имеет треугольная грань (2, 3, 4), если ее рассматривать со стороны вершины 1. Это приводит к такому результату: объем тетраэдра (1, 2, 3, 4), определяемый по нашей формуле, получается положительным, если вершины 2, 3, 4, рассматриваемые из вершины 1, следуют одна за другой против часовой стрелки; в противном случае получаем отрицательный объем.

Таким образом, мы, действительно, из аналитических формул вывели геометрические правила, позволяющие каждому отрезку, каждому треугольнику, каждому тетраэдру приписывать определенный знак, если только их вершины заданы в определенной последовательности.

Этим достигаются большие преимущества по сравнению с обычной элементарной геометрией, рассматривающей длину, площадь и объем как абсолютные величины, а именно, мы будем в состоянии устанавливать простые теоремы общего характера, тогда как элементарная геометрия должна различать многочисленные случаи в зависимости от того или другого расположения фигур.

Рис. 5