Классификация геометрических величин в зависимости от их поведения при преобразовании прямоугольных координат.
Теперь я дополню эти рассуждения исследованием поведения наших элементарных величин при преобразованиях прямоугольной системы координат, это приведет нас к одному очень ценному принципу классификации, благодаря которому грассманова систематика впервые получает свое более тонкое осуществление.
Формулы преобразования координат, т. е. выражения координат х, у точки по отношению к новому положению осей через ее первоначальные координаты х, у, для четырех основных преобразований прямоугольной системы координат имеют, как известно, такой вид:
1) для параллельного переноса
2) для поворота на угол 
3) для зеркального отражения относительно оси х
4) для изменения масштаба
Составляя композиции преобразований этих четырех видов при всевозможных значениях параметров 
, получаем уравнения для наиболее общего возможного перехода от одной прямоугольной системы координат к другой при одновременном изменении масштаба.
Композиции всевозможных сдвигов и поворотов соответствуют совокупности всех собственных (т. е. понимаемых в буквальном или собственном смысле слова) движений системы координат в пределах плоскости.
Совокупность всех этих преобразований образует группу. Это означает, что композиция каждых двух из них дает снова преобразование, принадлежащее к той же совокупности, и что для каждого из этих преобразований имеется в группе обратное ему преобразование. Специальные преобразования (А), различными композициями которых можно получить все остальные, называют образующими этой группы.
Прежде чем обратиться к рассмотрению того, как при этих преобразованиях (А) изменяются наши определители X, Y, N, выскажу два общих принципа, которые я уже давно акцентировал и выдвинул на первое место при этих основных геометрических исследованиях; если эти принципы сперва и будут звучать немного неясно в таком общем виде, то на конкретном материале их суть сразу же вполне уяснится. Один из них гласит, что геометрические свойства каких-либо фигур должны всегда выражаться такими формулами, которые не изменяются при перемене системы координат, т. е. при одновременном выполнении над координатами всех точек фигуры одного из наших преобразований, и что, наоборот, каждая формула, инвариантная в этом смысле по отношению к группе этих преобразований координат, должна выражать некоторое геометрическое свойство.
Простейшими известными всем примерами может служить выражение для расстояния в фигуре, состоящей из двух точек, или для угла в фигуре, образованной двумя прямыми; с этими и многими другими подобными формулами нам в дальнейшем постоянно придется иметь дело. А здесь для пояснения укажу еще совершенно тривиальный пример неинвариантных формул: уравнение 
для фигуры, состоящей из одной точки плоскости х, у, выражает, что эта точка лежит на оси 
ось 
является, собственно говоря, совершенно произвольным дополнением, чуждым существу нашей фигуры, и служит только для удобного ее описания.
Подобно этому, всякое неинвариантное уравнение выражает то или иное отношение фигуры к произвольно присоединенным внешним вещам, в частности к системе координат, но не соответствует никаким геометрическим свойствам самой фигуры.
Второй принцип относится к системам аналитических величин, образованных из координат нескольких точек 
например к системе из наших трех величин X, Y, N. О такой системе говорят, что она определяет новый геометрический, т. е. не зависящий от системы координат образ, если при всех наших преобразованиях координат она определенным образом преобразуется в себя, т. е. если система величин, аналогично образованная из новых координат точек 
выражается исключительно (т. е. не вводя значений самих координат) через величины, образованные из старых координат. Более того, все аналитические выражения мы будем классифицировать соответственно тому, как они ведут себя при преобразованиях координат, и два ряда выражений, которые преобразуются одинаковым образом, будем считать равноценными, т. е. определяющими геометрические образы одного и того же типа.
