V. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВ
Фигуры, порождаемые точками (линии, поверх ности, точечные множества).
Этим закончено все то, что я хотел здесь сказать об элементарных образах геометрии, и мне осталось только рассмотреть образы высшего порядка, которые могут быть из них составлены. Я сделаю это в исторической форме, для того чтобы вы получили определенную картину развития геометрии в различные века.
А. До конца XVIII столетия в качестве элементарных образов употребляли по существу только точки; иного рода образы, правда, встречались при случае, но никогда это не происходило систематически. В качестве производных образований точек рассматривали кривые и поверхности, а также более общие конфигурации, составленные из частей различных кривых и поверхностей. Задумаемся на минуту над тем, до чего многообразна относящаяся сюда область.
1) В элементарном преподавании, а иногда и в начальном курсе лекций по аналитической геометрии, все выглядит так, как если бы вся геометрия ограничивалась прямою и плоскостью, коническими сечениями и поверхностями второго порядка. Конечно, это — крайне узкая точка зрения, тем более, что уже знания древних греков простирались отчасти дальше — на некоторые высшие кривые, которые они рассматривали как «геометрические места»; однако эти вещи тогда еще не проникли в регулярное преподавание.
2) Сравним с этим уровень знаний около 1650 г., вслед за тем, как Ферма и Декарт создали аналитическую геометрию. Тогда различали геометрические и механические кривые; первыми были, прежде всего, конические сечения, но также и отдельные высшие кривые из числа тех, которые теперь называют алгебраическими кривыми; вторым названием обозначили кривые, которые можно было определите при помощи какого-нибудь механизма; сюда относятся например, циклоиды, образуемые при качении колеса; по большей части они принадлежат к трансцендентным кривым.
3) Кривые того и другого рода принадлежат к числу аналитических кривых, понятие которых было установлено позже; это — кривые, координаты 
у которых могут быть представлены как аналитические функции некоторого параметра t, короче говоря, как степенные ряды относительно 
4) В последнее время много занимались неаналитическими кривыми, координаты 
которых уже не разлагаются в степенной ряд, будучи, например, непрерывными функциями без производных: этим устанавливается более общее понятие кривой, по отношению к которому вышеназванные аналитические кривые являются лишь особенно простым частным случаем,
5) Наконец, в самое последнее время благодаря развитию теории множеств, о которой мы уже говорили, присоединился еще один, ранее совсем не известный объект, а именно — бесконечные точечные множества. Это — совокупности бесконечного количества точек, скопления точек, которые хотя и не образуют непрерывную кривую, но определяются вполне определенным законом. Если кому-нибудь желательно найти в наших конкретных наглядных представлениях нечто приблизительно соответствующее этим точечным множествам, тот пусть, например, представит себе на звездном небе млечный путь, в котором чем точнее его рассматривают, тем больше находят звезд.
Для дисциплин, намеченных в этом кратком перечне, в частности, для инфинитезимальной геометрии (геометрии бесконечно малых, или дифференциальной геометрии) и для теории точечных множеств в рамках этого курса, к сожалению, не останется места, хотя они, конечно, также являются важными областями геометрии. Впрочем, их часто излагают подробно в особых курсах лекций и книгах, так что здесь мы можем ограничиться этим указанием на занимаемое ими место среди прочих геометрических дисциплин с тем, чтобы заняться более детально вещами, которые реже излагаются в других местах.
